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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:44 Sa 17.10.2009 | | Autor: | Jan2006 |
Hallo zusammen!
Wie berechne ich den Konvergenzbereich einer LaPlace-Funktion?
Als Beispiele habe ich gegeben:
F(s) = [mm] \bruch{1}{s+2} [/mm] , Realteil s > -2
F(s) = [mm] \bruch{1}{s} [/mm] , Realteil s > 0
F(s) = [mm] \bruch{1}{s-2} [/mm] , Realteil s > 2
Wie kommt man darauf? Muss man einfach schauen, wann der Nenner der LaPlace-Funktion NULL werden könnte? Ich hätte jetzt für s = [mm] \sigma [/mm] + [mm] j\omega [/mm] eingesetzt und nach Real und Imaginärteil aufgetrennt.
Wie ist die genaue Vorgehensweise? Kann man den Konvergenzbereich eventuell direkt ablesen?
Vielen Dank für eure Hilfe im voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:55 Sa 17.10.2009 | | Autor: | Infinit |
Hallo Jan2006,
der Konvergenzbereich hängt vom Zusammenspiel der zu transformierenden Größe und der komplexen e-Funktion ab, denn man berechnet ja
$$ F(s) = [mm] \int_0^{\infty} [/mm] f(t) [mm] e^{-st} \, [/mm] dt [mm] \, [/mm] . $$
Leger ausgedrückt, darf die Zeitfunktion nicht stärker ansteigen als die Exponentialfunktion. Mit [mm] s = \sigma + j \omega [/mm] lässt sich das aber immer mit einem geeignet gewählten [mm] \sigma [/mm] erreichen, da man so sicherstellen kann, dass der Faktor [mm] e^{- \sigma t} [/mm] selbst bei einer exponentiell ansteigenden Funktion f(t) überwiegt. Diesen Grenzwert, ab dem das gilt, nennt man auch Konvergenzabszisse. Für Werte von [mm] \sigma [/mm] größer als diese Konvergenzabszisse konvergiert das Laplaceintegral.
Der in der Laplacetransformierten am weitesten rechts liegende Pol bestimmt die Konvergenz des Integrals. Für alle Werte rechts von diesem Pol konvergiert das Integral. Und jetzt kannst Du Dir, so glaube ich zumindest, auch sofort die Lösungen Deiner Beispiele erklären.
Viele Grüße,
Infinit
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