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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:53 Fr 09.12.2011 | | Autor: | mili03 |
Hallo,
Sei [mm] X_n,n\in\IN [/mm] eine Folge von ZV auf dem Wahrscheinlichkeitsraum [mm] (\Omega,A,P).
[/mm]
a) Die Folge [mm] (X_n) [/mm] konvergiert in Wahrscheinlichkeit P gegen eine ZV X, falls für alle [mm] \varepsilon>0 [/mm] gilt
[mm] P(|X_k-X|>\varepsilon)\to0,k\to\infty. [/mm]
b) [mm] X_n [/mm] konvergiert fast sicher gegen X, falls [mm] P(\{\omega\in\Omega:X_n(\omega)\to X(\omega)\})=1.
[/mm]
Meine Frage ist: Fast sichere Konvergenz impliziert ja Konvergenz in Wahrscheinlichkeit.
Ich konnte allerdings nirgends finden, warum die andere Implikation nicht gilt.
Kann mir das evt. jemand begründen oder ein Gegenbeispiel nennen?
Dank und Gruß,
mili
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Konvergenz in Wahrscheinlichkeit bedeutet salopp gesagt, dass [mm] $X_n$ [/mm] für große n mit hoher Wahrscheinlichkeit nahe dem Grenzwert liegt. Es kann aber für beliebig große n immer wieder "Ausreißer" geben.
Ein Beispiel einer Folge, die in Wahrscheinlichkeit, aber nicht fast sicher konvergiert, erhält man wie folgt:
[mm] (X_n) [/mm] sei eine Folge von unabhängigen Zufallsvariablen mit [mm] P(X_n=0)=1-\frac{1}{n} [/mm] und [mm] P(X_n=1)=\frac{1}{n}.
[/mm]
Für [mm] $\epsilon>0$ [/mm] (mit [mm] $\epsilon<1) [/mm] gilt dann [mm] P(|X_n-0|>\epsilon)=\frac{1}{n}\to [/mm] 0 für [mm] n\to\infty.
[/mm]
Die Folge [mm] $(X_n)$ [/mm] enthält jedoch mit Wahrscheinlichkeit 1 unendliche viele Einsen (dies folgt aus dem Borel-Cantelli-Lemma), d.h. sie konvergiert nicht fast sicher gegen 0.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Fr 09.12.2011 | | Autor: | mili03 |
Hallo,
danke für deine Hilfe.
> Konvergenz in Wahrscheinlichkeit bedeutet salopp gesagt,
> dass [mm]X_n[/mm] für große n mit hoher Wahrscheinlichkeit nahe
> dem Grenzwert liegt. Es kann aber für beliebig große n
> immer wieder "Ausreißer" geben.
> Ein Beispiel einer Folge, die in Wahrscheinlichkeit, aber
> nicht fast sicher konvergiert, erhält man wie folgt:
> [mm](X_n)[/mm] sei eine Folge von unabhängigen Zufallsvariablen
> mit [mm]P(X_n=0)=1-\frac{1}{n}[/mm] und [mm]P(X_n=1)=\frac{1}{n}.[/mm]
> Für [mm]$\epsilon>0$[/mm] (mit [mm]$\epsilon<1)[/mm] gilt dann
> [mm]P(|X_n-0|>\epsilon)=\frac{1}{n}\to[/mm] 0 für [mm]n\to\infty.[/mm]
> Die Folge [mm](X_n)[/mm] enthält jedoch mit Wahrscheinlichkeit 1
> unendliche viele Einsen
Ich glaube hier hakt es bei mir: [mm] (X_n) [/mm] ist doch eine Folge von Zufallsvariablen. Wie kann sie dann unendliche viele Einsen enthalten? Dann müsste es sich doch um Realisationen handeln.
Wäre nett, wenn du dazu noch etwas sagen könntest.
> (dies folgt aus dem Borel-Cantelli-Lemma), d.h. sie konvergiert nicht fast
> sicher gegen 0.
mili
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> Hallo,
>
> danke für deine Hilfe.
> > Konvergenz in Wahrscheinlichkeit bedeutet salopp gesagt,
> > dass [mm]X_n[/mm] für große n mit hoher Wahrscheinlichkeit nahe
> > dem Grenzwert liegt. Es kann aber für beliebig große n
> > immer wieder "Ausreißer" geben.
> > Ein Beispiel einer Folge, die in Wahrscheinlichkeit,
> aber
> > nicht fast sicher konvergiert, erhält man wie folgt:
> > [mm](X_n)[/mm] sei eine Folge von unabhängigen Zufallsvariablen
> > mit [mm]P(X_n=0)=1-\frac{1}{n}[/mm] und [mm]P(X_n=1)=\frac{1}{n}.[/mm]
> > Für [mm]$\epsilon>0$[/mm] (mit [mm]$\epsilon<1)[/mm] gilt dann
> > [mm]P(|X_n-0|>\epsilon)=\frac{1}{n}\to[/mm] 0 für [mm]n\to\infty.[/mm]
> > Die Folge [mm](X_n)[/mm] enthält jedoch mit Wahrscheinlichkeit
> 1
> > unendliche viele Einsen
> Ich glaube hier hakt es bei mir: [mm](X_n)[/mm] ist doch eine Folge
> von Zufallsvariablen. Wie kann sie dann unendliche viele
> Einsen enthalten? Dann müsste es sich doch um
> Realisationen handeln.
> Wäre nett, wenn du dazu noch etwas sagen könntest.
Ja, natürlich meine ich Realisationen. D.h. wenn ich eine Folge von Zufallszahlen aus {0,1} betrachte, sodass die n-te Zahl mit Wahrscheinlichkeit 1/n eine 1 und ansonsten 0 ist, erhalte ich mit Wahrscheinlichkeit 1 unendliche viele Einsen.
> > (dies folgt aus dem Borel-Cantelli-Lemma), d.h. sie
> konvergiert nicht fast
> > sicher gegen 0.
> mili
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:09 Fr 09.12.2011 | | Autor: | mili03 |
Danke!
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