Konvergenzarten < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:49 Mo 19.07.2010 | | Autor: | rulf007 |
| Aufgabe | Gegeben sei eine Folge von Zufallsvariablen [mm] X_{n}:=\wurzel{n}*1_{(\bruch{1}{n},\bruch{2}{n})} [/mm] mit n=2,3,... auf dem Wahrscheinlichkeitsraum [mm] (\Omega,\mathcal{A},P)=([0,1],\mathcal{B}([0,1]),\lambda), [/mm] wobei [mm] \lambda [/mm] die Gleichverteilung auf [0,1] ist.
(i) Konvergiert [mm] (X_{n}) [/mm] stochastisch
(ii) Konvergiert [mm] (X_{n}) [/mm] P-fast sicher
(iii) Konvergiert [mm] (X_{n}) [/mm] im p-tel Mittel? |
Hallo!
Das war eine Aufgabe aus meiner letzten W-Theorie-Klausur. Hab diese leider nicht bestanden und es gibt auch keine Musterlösung dafür.
Wahrscheinlich kommt in der Nachholklausur auch so eine Aufgabe dran und deswegen wüsst ich gerne wie man an eine solche Aufgabe rangeht bzw. (Teil-)Lösungen von der Aufgabe wären mir auch sehr hilfreich.
Danke für eure Mühen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Huhu,
wo sind deine Ansätze, wo sind die Probleme?
Ohne dass du zumindest zeigst, wie du es gemacht hast, können wir dir nicht helfen und deine Fehler aufzeigen....
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 Mo 19.07.2010 | | Autor: | rulf007 |
Also zur stochastischen Konv hab ich folgenden Ansatz:
Ich überprüfe ob Konvergenz bzgl X=0 vorliegt
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} P(|X_{n}-X|>\varepsilon)=\limes_{n\rightarrow\infty} P(|X_{n}|>\varepsilon)= \bruch{1}{n}\to [/mm] 0
weil [mm] \lambda(\bruch{1}{n},\bruch{2}{n})=\bruch{1}{n} [/mm] ist.
Also liegt stoch. Konv bzgl "0" vor?!
Zur Konvergenz im pten Mittel, für p=1:
[mm] E[|X_{n}-0|]=\wurzel{n}*\bruch{1}{n}\to [/mm] 0.
Also liegt auch Konvergenz im ersten Mittel vor?!
Aber nicht Konvergenz im 2ten Mittel, da [mm] E[|X_{n}-0|^2]=E[n*1_{[\bruch{1}{n},\bruch{2}{n}]}]=1
[/mm]
Bei der fast-sicheren Konvergenz kenn ich zwar auch die Definition, aber weiß nicht wie ich das ansetzen kann
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:01 Di 20.07.2010 | | Autor: | gfm |
> Also zur stochastischen Konv hab ich folgenden Ansatz:
>
> Ich überprüfe ob Konvergenz bzgl X=0 vorliegt
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} P(|X_{n}-X|>\varepsilon)=\limes_{n\rightarrow\infty} P(|X_{n}|>\varepsilon)= \bruch{1}{n}\to[/mm]
> 0
>
> weil [mm]\lambda(\bruch{1}{n},\bruch{2}{n})=\bruch{1}{n}[/mm] ist.
Mit [mm]X=0[/mm], [mm]I_n:=[1/n,2/n][/mm], [mm]\Omega:=[0,1][/mm] und [mm]\epsilon>0[/mm] gilt
[mm]P(|X_{n}-X|>\epsilon)=\integral_\Omega(1_{(\epsilon/\wurzel{n},\infty)}\circ1_{I_n})d\lambda\le\integral_{I_n}1_{(\epsilon/\wurzel{n},\infty)}(1)d\lambda\le1/n\to0[/mm] für [mm] n\to \infty.
[/mm]
>
> Also liegt stoch. Konv bzgl "0" vor?!
Ja.
>
> Zur Konvergenz im pten Mittel, für p=1:
>
> [mm]E[|X_{n}-0|]=\wurzel{n}*\bruch{1}{n}\to[/mm] 0.
>
> Also liegt auch Konvergenz im ersten Mittel vor?!
>
> Aber nicht Konvergenz im 2ten Mittel, da
> [mm]E[|X_{n}-0|^2]=E[n*1_{[\bruch{1}{n},\bruch{2}{n}]}]=1[/mm]
>
Damit hast Du nur gezeigt, dass X=0 keine Grenzfunktion ist.
Sei [mm] p\ge1. [/mm] Dann gilt
[mm] ||X_n||_p^p:=\integral_\Omega|X_n|^pd\lambda=n^{p/2}*(1/n)=n^{(p-2)/2}\begin{cases}\to0, & \mbox{für }p=1\\=1,& \mbox{für }p=2\\\to\infty,& \mbox{sonst }\end{cases}
[/mm]
Für p=1 liegt also eine Nullfolge vor. Grenzelement sind die fast sicher verschwindenden ZVn. Für p>2 kann keine Konvergenz vorliegen, da die Folge nicht beschränkt ist. Und für p=2 liegt die Vermutung nahe, dass keine Cauchyfolge vorliegt:
[mm] ||X_n-X_m||_2^2=\integral_\Omega|X_n-X_m|^2d\lambda=\integral_\Omega(n1_{I_n}-2\wurzel{nm}1_{I_n\cap I_m}+m1_{I_m})d\lambda=2-2\wurzel{nm}\lambda(I_n\cap I_m). [/mm]
Wenn [mm] 2n\ge [/mm] m oder [mm] 2m\ge [/mm] n gilt, verschwindet [mm] \lambda(I_n\cap I_m). [/mm] Da für Konvergenz [mm] ||X_n-X_m||_2^2 [/mm] beliebig klein werden muss, wenn n und m beide nur hinreichend groß gewählt werden, kann also auch keine Konvergenz vorliegen.
> Bei der fast-sicheren Konvergenz kenn ich zwar auch die
> Definition, aber weiß nicht wie ich das ansetzen kann
Es gilt [mm] X_n(\omega)=\wurzel{n}1_{[1,2]}(n*\omega)=\begin{cases}0, & \mbox{für }\omega=0\\0,& \mbox{für }\omega>2/n\\\wurzel{n},& \mbox{sonst }\end{cases}
[/mm]
Daraus folgt, dass [mm] X_n(\omega) [/mm] für jedes [mm] \omega [/mm] schließlich für alle n verschwindet. Somit liegt punktweise Konvergenz auf einer Menge vom W-Maß eins und damit fast sichere Konvergenz vor.
LG
gfm
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