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| Aufgabe | Aufgabe 26: Zeigen Sie, daß die Folge [mm] (s_n) [/mm] mit
[mm] s_n = \bruch{2n}{n+2} + 2^{-n} [/mm]
Gegen s=2 Konvergiert. Bestimmen sie dann zu [mm] \epsilon 10^{-6} [/mm] eine Zahl sodass [mm] |s_n [/mm] - s| größer [mm] \epsilon [/mm] für n größer N |
Hallo,
ich brach mal wieder hilfe bei einem Problem ich will eig nichtmal unbedingt die Lösung für dieses Problem, sondern kommt alllgemein nicht damit klar, was nun genau von mir verlangt wird.
Ich soll nämlich folgendende Def für den Beweis benutzen:
Eine Folge konvergiert, wenn es eine Zahl s gibt, sd.:
∀ ε > 0 ∃N ≥ 1 ∀ n ≥ N |sn − s| < ε.
Wie würde ich also Beispielsweise zeigen, dass [mm] 2^n [/mm] gegen unendlich geht? Bitte mit außführlicher Erklärung für Dumme ;D
Danke schonmal!!
Ich habe die Frage sonst nirgendwo gestellt ;D
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:08 Do 14.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Aufgabe 26: Zeigen Sie, daß die Folge [mm](s_n)[/mm] mit
>
> [mm]s_n = \bruch{2n}{n+2} + 2^{-n}[/mm]
> Gegen s=2 Konvergiert.
> Bestimmen sie dann zu [mm]\epsilon 10^{-6}[/mm] eine Zahl sodass
> [mm]|s_n[/mm] - s| größer [mm]\epsilon[/mm] für n größer N
Doch eher < [mm] \epsilon.
[/mm]
> Hallo,
> ich brach mal wieder hilfe bei einem Problem ich will eig
> nichtmal unbedingt die Lösung für dieses Problem, sondern
> kommt alllgemein nicht damit klar, was nun genau von mir
> verlangt wird.
> Ich soll nämlich folgendende Def für den Beweis
> benutzen:
> Eine Folge konvergiert, wenn es eine Zahl s gibt, sd.:
> ∀ ε > 0 ∃N ≥ 1 ∀ n ≥ N |sn − s| < ε.
> Wie würde ich also Beispielsweise zeigen, dass [mm]2^n[/mm] gegen
> unendlich geht?
Die von Dir oben zitierte Definition bezieht sich auf konvergente Folgen mit Grenzwert in [mm] \IR.
[/mm]
Man kann auch uneigentliche Grenzwerte einführen:
Def.: Sei [mm] (s_n) [/mm] eine Folge. [mm] s_n \to \infty [/mm] : [mm] \gdw
[/mm]
zu jedem c>0 ex. ein N [mm] \in \IN [/mm] mit: [mm] s_n [/mm] >c für alle n mit n>N.
FRED
> Bitte mit außführlicher Erklärung für
> Dumme ;D
>
> Danke schonmal!!
>
> Ich habe die Frage sonst nirgendwo gestellt ;D
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Ja, das ist mir klar,
ich weiß nur nicht wie ich eben z.B. zeige dass z.b. 1/n gegen 0 geht...
Was mir fehlt ist eben grad so ein Beispiel zu zeigen.
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Hallo,
also als Bsp möchtest du jetzt einmal, dass [mm] a_n=\frac{1}{n} [/mm] gegen 0 geht, wenn [mm] n\to\infty?
[/mm]
Nagut, dann machen wir das mal. Der Grenzwert ist als 0, das setzen wir nun alles in die Defintion ein:
[mm] |a_k-a|=|1/n-0|=|1/n|=1/n\stackrel{!}{<}\varepsilon.
[/mm]
Wir formen nun [mm] 1/n<\varepsilon [/mm] um und erhalten: [mm] n>\frac{1}{\varepsilon}. [/mm] Also gibt es zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] ein [mm] n_0 [/mm] derart, dass der Abstand [mm] |a_n-0|<\varepsilon [/mm] für [mm] n>n_0. [/mm] Das ist ja genau die Definition der konvergenten Folge. Wir sind also am Ziel.
Für deine Aufgabe heißt das also:
Du musst ein [mm] n_0 [/mm] ermitteln, sodass
[mm] \left|\bruch{2n}{n+2}+2^{-n}-2\right|<\varepsilon.
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:43 Do 14.11.2013 | | Autor: | xxgenisxx |
Genau den anschupser habe ich gebracht, DANKE!!
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