Konvergenz von Zufallsvariable < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:55 Do 19.06.2014 | | Autor: | jusates |
| Aufgabe | Betrachte ([0,1],B[0,1],P) als Wahrscheinlichkeitsraum mit der Gleichverteilung P auf [0,1] sowie den Zufallsvariablen
[mm] X_2_^l+k [/mm] = 1_[k2^-l,(k+1)2^-l] : [0,1] -> [mm] \IR [/mm]
mit l [mm] \in \IN [/mm] , 0 [mm] \le [/mm] k [mm] \le 2^l [/mm] - 1
Beachte: Jede natürliche Zahl ist als [mm] 2^l+k [/mm] darstellbar (eindeutig!).
a) Skizziere [mm] X_n [/mm] grob für n = 1, ..., 7
b) Zeige: dass [mm] X_n \to [/mm] 0 für n [mm] \to [/mm] unendlich unter [mm] ||*||_1
[/mm]
c) Entscheide: Läuft die Folge [mm] X_n [/mm] stochastisch gegen 0?
d) Entscheide: Läuft die Folge [mm] X_n [/mm] fast sicher gegen 0? |
Hallo!
Ich hoffe, ich habe oben alles richtig abgetippt, diese Aufgabe beinhaltet nämlich viele Verkettungen und Indizes und ich bin gerade erst neu hier. Ich schaffe leider nicht, die 1 mit dem Index zu schreiben (es wäre eigentlich eine dicke 1 und der lange Index).
Zu der a) habe ich bisher folgendes:
n=1 [mm] (2^0+0) [/mm] => 1_[0,1]
n=2 [mm] (2^1+0) [/mm] => 1_[0,1/2]
n=3 [mm] (2^1+1) [/mm] => 1_[1/2,1]
n=4 [mm] (2^2+0) [/mm] => 1_[0,1/4]
n=5 [mm] (2^2+1) [/mm] => 1_[1/4,1/2]
n=6 [mm] (2^2+2) [/mm] => 1_[1/2,3/4]
n=7 [mm] (2^2+3) [/mm] => 1_[3/4,1]
Stimmt das soweit? Ich weiß leider nicht, was das "skizzieren hier bedeuten soll, und ob ich das weiter ausbauen muss.
Bei der b) verstehe ich nicht, was die Norm bedeuten soll (die steht in der eigentlichen Aufgabe über dem Pfeil von [mm] X_n [/mm] läuft gegen 0 (Ich bekomme das im Formeleditor nicht hin...)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
eine schöne Standardaufgabe 
Einen längeren Index bekommst du hin, indem du den Index in geschweifte Klammern setzt.
Deine Indikatorfunktion [mm] $1_{[k2^{-l},(k+1)2^{-l}]}$ [/mm] erhälst du also mit 1_{[k2^{-l},(k+1)2^{-l}]}, da auch die Potenzen mit mehr als einem Zeichen in geschweifte Klammern gehören.
Deine Intervalle stimmen so weit, skizziere jetzt noch die Indikatorfunktionen dazu.
Du bekommst also immer eine Unterteilung des Intervalls [0,1] und die Unterteilung wird immer kleiner.
Darum nennt man die Dinger auch "wandernde Türme".
> Bei der b) verstehe ich nicht, was die Norm bedeuten soll
Die [mm] ||*||_p [/mm] - Norm solltest du eigentlich kennen, die wird dir immer mal wieder über den Weg laufen, es gilt:
[mm] $||X||_p [/mm] = [mm] \left(\integral_\Omega |X|^p dP\right)^\bruch{1}{p} [/mm] = [mm] \sqrt[p]{E\left[|X|^p\right]}$
[/mm]
In deinem Fall also einfach:
[mm] $||X||_1 [/mm] = [mm] \integral_\Omega [/mm] |X| dP = [mm] E\left[|X|\right]$
[/mm]
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:44 Do 19.06.2014 | | Autor: | jusates |
Ah, jetzt verstehe ich! Klar habe ich die p-Norm schonmal in der linearen Algebra gesehen, sie war mir aber in der Stochastik so noch nicht begegenet.
Nun, es würde bei der Skizze also reichen, dass ich z.B.
[mm] 1_{[0,1]} [/mm] = [mm] \begin{cases} 0, & \mbox { sonst} \\ 1, & \mbox{für } x \mbox{ aus} [0,1] \end{cases}
[/mm]
Und vielleicht auch kurz als Graph? Das sollte ja machbar sein.
Gut, warum gerade der Erwartungswert gegen 0 konvegiert (wenn n gegen unendlich läuft) kann man ja damit begründen, dass meine Intervallschachtelung immer kleiner wird, daher mit die Wahrscheinlichkeit P(X = x) ja immer weiter gegen 0 pendeln. Reicht dies als Begründung?
Der Erwartungswert ist ja gegeben durch:
[mm] \summe_{x \in I}{x_i P(X = x_i)}
[/mm]
Naja, P(X = [mm] x_i) [/mm] wird ja immer unwahrscheinlicher, je feiner ich meine Intervalle wähle (was bei großem n ja anscheinend passiert, wie a) zeigt). Deswegen pendelt der Erwartungswert dementsprechend auch gegen 0, richtig? Wie würde man sowas denn formal schreiben können (ich finde, solche Erklärungen wirken immer blockig...) =)
Gruß
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Hiho,
> Nun, es würde bei der Skizze also reichen, dass ich z.B.
> [mm]1_{[0,1]}[/mm] = [mm]\begin{cases} 0, & \mbox { sonst} \\ 1, & \mbox{für } x \mbox{ aus} [0,1] \end{cases}[/mm]
>
> Und vielleicht auch kurz als Graph? Das sollte ja machbar sein.
Ja.
Man bezeichnet die Indikatorfunktionen bzw. Intervalle zu einem bestimmten j (mach dir mal klar, dass es dazu genau [mm] $2^{j}$ [/mm] Stück gibt).übrigens als j-te Generation.
Beschreibe doch mal, wie genau sich die j-te Generation verhält, wenn du sie skizzieren müsstest.
> Wie würde man sowas denn formal schreiben können (ich finde, solche Erklärungen wirken immer blockig...) =)
Die Einstellung ist erstmal gut. Das liegt bei dir aber daran, dass du nur allgemein laberst, anstatt es mal konkret auszurechnen.
Wenn du etwas zeigen willst, dann mach es doch einfach mal!
Du willst nun also zeigen: [mm] $E[X_n] \to [/mm] 0$. Dann berechne doch mal [mm] $E[X_n]$!
[/mm]
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 Do 19.06.2014 | | Autor: | jusates |
Ok, dann schauen wir mal:
[mm] E[X_n] [/mm] = [mm] \summe_{x \in [0,1]}{x_i * P(X_n = x_i)}
[/mm]
Nun weiß ich aber, da ja die Anzahl der Blöcke immer größer wird [mm] (2^n [/mm] -> unendlich für n -> unendlich), d.h. [mm] P(X_n [/mm] = [mm] x_i) \to [/mm] 0 für n gegen Unendlich, weil ja meine [mm] X_n [/mm] immer kleiner werden...
Daraus folgt:
[mm] \summe_{x \in [0,1]}{x_i * P(X_n = x_i)} \to \summe_{x \in [0,1]}{x_i * O}
[/mm]
= 0 (für n gegen Unendlich), was ja die Aussage war.
Reicht dies so, oder verhaspel ich mich irgendwo?
Zu deiner Frage mit den Generationen... ich nehme mal an, bei n=1 wäre die 1. Generation:
Die j-te Generation sollte bestehen aus [mm] 1_{[0, 1/2^{(j-1) }]}, [/mm] ... , [mm] 1_{[[2^{(j-1)}-1/2^{(j-1)} , 1]} [/mm] , richtig?
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Hiho,
Autsch. Das tut beim Lesen weh!
Du machst da so viele Fehler, dass es ne ganze Weile dauert, das alles auseinander zu nehmen.
Dabei hast du bei deiner ersten Frage so gut angefangen 
> [mm]E[X_n][/mm] = [mm]\summe_{x \in [0,1]}{x_i * P(X_n = x_i)}[/mm]
Hier hast du nun das I durch [0,1] ersetzt. Warum?
Was ist denn das I in der Definition des (diskreten) Erwartungswerts?
Dann: Selbst wenn das korrekt wäre, was soll denn die Summe über eine überabzählbare Menge sein?
Wie sieht dein [mm] X_n [/mm] denn konkret aus?
Und dann kannst du dir mal überlegen, für welche [mm] x_i [/mm] der Ausdruck [mm] $P(X_n [/mm] = [mm] x_i)$ [/mm] überhaupt Sinn macht (es sind nicht so viele).
> Nun weiß ich aber, da ja die Anzahl der Blöcke immer größer wird [mm](2^n[/mm] -> unendlich für n -> unendlich), d.h. [mm]P(X_n[/mm] = [mm]x_i) \to[/mm] 0 für n gegen Unendlich, weil ja meine [mm]X_n[/mm] immer kleiner werden...
Deine [mm] X_n [/mm] sind immer gleich groß, das wirst du verstehen, wenn du verstanden hast, was die [mm] X_n [/mm] eigentlich sind.
Also letztlich laberst du wieder nur.
Ich will von dir konkret wissen: Wie sieht [mm] $P[X_n [/mm] = [mm] x_i]$ [/mm] für alle möglichen [mm] x_i [/mm] aus.
Das kannst du explizit in Abhängigkeit von n angeben und das will ich wissen.
> Daraus folgt:
> [mm]\summe_{x \in [0,1]}{x_i * P(X_n = x_i)} \to \summe_{x \in [0,1]}{x_i * O}[/mm] > = 0 (für n gegen Unendlich), was ja die Aussage war.
Hier der nächste haarsträubende Fehler von dir.
Selbst wenn alles bisherige richtig war und [mm] $P(X_n [/mm] = [mm] x_i) \to [/mm] 0$, kannst du nicht einfach in einer unendlichen Summe den Grenzwert reinziehen. Das kannst du dir auch für die Zukunft in Stochastik merken.
Einfaches Gegenbeispiel: [mm] $\summe_{k\in\IN} \bruch{k}{n}$
[/mm]
Es gilt: [mm] $\lim_{n\to\infty} \summe_{k\in\IN} \bruch{k}{n} [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty} \bruch{1}{n} \summe_{k\in\IN} [/mm] k = [mm] \lim_{n\to\infty} \bruch{1}{n} *\infty [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty} \infty [/mm] = [mm] \infty \not= [/mm] 0 = [mm] \summe_{k\in\IN} [/mm] 0 = [mm] \summe_{k\in\IN} \lim_{n\to\infty}\bruch{k}{n}$
[/mm]
Also um es nochmal auf den Punkt zu bringen: Welche Werte kann [mm] X_n [/mm] annehmen und mit welcher Wahrscheinlichkeit werden diese angenommen.
Das ist des Pudels Kern.
Mal was Positives zum Schluss:
> Die j-te Generation sollte bestehen aus [mm]1_{[0, 1/2^{(j-1) }]},[/mm]
> ... , [mm]1_{[[2^{(j-1)}-1/2^{(j-1)} , 1]}[/mm] , richtig?
Bis auf die vergessene Klammer scheint das zu passen.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:48 Do 19.06.2014 | | Autor: | jusates |
Ja, ich habe meine Schwierigkeiten, alles "mathematisch korrekt" aufzuschreiben. Das wurde schon in meinen vorherigen Aufgaben angestrichen, deswegen habe ich hier nach etwas Hilfe gefragt. Die Aufgaben sind mir meistens klar, jedoch das Aufschreiben entwickelt sich meistens zur Qual.
Naja, mein [mm] X_n [/mm] sieht ja nach Definition erstmal so aus:
[mm] X_n [/mm] = [mm] X_{2^l+k} [/mm] = [mm] 1_{[k*2^{-l},(k+1)*2^{-l}]}
[/mm]
Also: [mm] X_n(x) [/mm] = [mm] \begin{cases} 0, & \mbox{sonst} \\ 1, & \mbox{für } x \in [k*2^{-l},(k+1)*2^{-l}] \end{cases}
[/mm]
Somit würde [mm] P(X_n [/mm] = [mm] x_i) [/mm] ja nur Sinn machen, wenn [mm] x_i [/mm] genau aus [mm] X_n [/mm] kommt, richtig?
Leider verstehe ich nicht, was du mit
>Wie sieht $ [mm] P[X_n [/mm] = [mm] x_i] [/mm] $ für alle möglichen $ [mm] x_i [/mm] $ aus.
>Das kannst du explizit in Abhängigkeit von n angeben und das will ich wissen."
meinst. Ich kann mir beim besten Willen nicht vorstellen, wie man sowas in Abhängigkeit von n angeben kann?
Wäre erstmal nicht
[mm] P[X_n [/mm] = [mm] x_i] [/mm] = [mm] P[X_{2^l+k} [/mm] = [mm] x_i] [/mm] gegeben?
Ich glaube, ich schweife ab. Ich habs einfach nicht so mit "mathematisch korrekter" Schreibweise. =( Ich hoffe, du kannst mir ein wenig Klarheit schaffen.
Gruß
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Hiho,
> Die Aufgaben sind mir meistens klar, jedoch das Aufschreiben entwickelt sich meistens zur Qual
Das kommt mit der Zeit
>
> Naja, mein [mm]X_n[/mm] sieht ja nach Definition erstmal so aus:
> [mm]X_n[/mm] = [mm]X_{2^l+k}[/mm] = [mm]1_{[k*2^{-l},(k+1)*2^{-l}]}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Also: [mm]X_n(x)[/mm] = [mm]\begin{cases} 0, & \mbox{sonst} \\ 1, & \mbox{für } x \in [k*2^{-l},(k+1)*2^{-l}] \end{cases}[/mm]
> Somit würde [mm]P(X_n[/mm] = [mm]x_i)[/mm] ja nur Sinn machen, wenn [mm]x_i[/mm] genau aus [mm]X_n[/mm] kommt, richtig?
Was soll denn "genau aus [mm] X_n" [/mm] heißen? [mm] X_n [/mm] ist erstmal eine Funktion, da ist nix drin.
[mm] $X_n [/mm] = [mm] x_i$ [/mm] ist ja eigentlich die Frage "Ist [mm] X_n [/mm] denn [mm] x_i?".
[/mm]
Und das macht ja z.B. für [mm] $x_i [/mm] = 27$ gar keinen Sinn, da [mm] X_n [/mm] nie 27 ist.
Welche Werte kann [mm] X_n [/mm] denn annehmen? Hast du ja oben schon hingeschrieben.
Nur 0 und 1, und das war auch dein Fehler aus dem Erwartungswert.
Beim Erwartungswert summierst du über ALLE möglichen Werte, die dein [mm] X_n [/mm] annehmen kann, das ist hier nur 0 und 1, also wie viele Summanden hat dein Erwartungswert?
> meinst. Ich kann mir beim besten Willen nicht vorstellen,
> wie man sowas in Abhängigkeit von n angeben kann?
Naja, eigentlich in Abhängigkeit von k und j, aber da die ja das n und direkt bestimmen, ist das letztlich das selbe.
> Wäre erstmal nicht
> [mm]P[X_n[/mm] = [mm]x_i][/mm] = [mm]P[X_{2^l+k}[/mm] = [mm]x_i][/mm] gegeben?
Ja, aber da schreibst du nur um.
Mach mal mit obigen Hinweisen weiter
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 Do 19.06.2014 | | Autor: | jusates |
Hallo,
> Was soll denn "genau aus [mm]X_n"[/mm] heißen? [mm]X_n[/mm] ist erstmal eine
> Funktion, da ist nix drin.
>
> [mm]X_n = x_i[/mm] ist ja eigentlich die Frage "Ist [mm]X_n[/mm] denn [mm]x_i?".[/mm]
> Und das macht ja z.B. für [mm]x_i = 27[/mm] gar keinen Sinn, da
> [mm]X_n[/mm] nie 27 ist.
>
> Welche Werte kann [mm]X_n[/mm] denn annehmen? Hast du ja oben schon
> hingeschrieben.
> Nur 0 und 1, und das war auch dein Fehler aus dem
> Erwartungswert.
>
Ahhhhhh, mir wird einiges klarer, denke ich. Jetzt verstehe ich ein wenig mehr.
> Beim Erwartungswert summierst du über ALLE möglichen
> Werte, die dein [mm]X_n[/mm] annehmen kann, das ist hier nur 0 und
> 1, also wie viele Summanden hat dein Erwartungswert?
Dementsprechend 2, nämlich einmal mit [mm] x_i [/mm] = 0 sowie [mm] x_i [/mm] = 1. Naja, für [mm] x_i [/mm] = 0 kann man ja auch 0 schreiben (da ja [mm] 0*P(X_n [/mm] = 0 = 0 ist, oder?), also bleibt ein einiziger Summend, nämlich
1 * [mm] P(X_n [/mm] = 1) bzw. [mm] P(X_n [/mm] = 1)
richtig? Nun, wie sieht denn [mm] P(X_n [/mm] = 1) aus? Dazu finde ich in meinen Unterlagen gerade nichts, wie man sowas ausschreibt, und wirklich schlau werde ich nicht daraus... Intuitiv denke ich an etwas wie 1/n, da ich ja in Richtung 0 kommen muss bei großem n, aber wie gesagt, alles nur Intuition, ohne Rückenhalt.
#Nachtrag: Moment, spielt hier die nicht die Menge der Blöcke pro Generatrion eine Rolle, also [mm] 2^n? [/mm] Wäre es dann nicht [mm] 1/2^n? [/mm] Das ist mir gerade durch den Kopf gegegangen, vielleicht geht das ja in die richtige Richtung.
Übrigens habe ich mich nochmal mit den "Wie siehen die Graphen denn aus?" beschäftigt. Wenn ich mich nicht verzeichnet haben, sind dass dann nicht immer kleiner werdende "Zacken" (oder wie du es nanntes "Türme"), welche sich von 0 in Richtung 1 bewegen?
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Hiho,
> Dementsprechend 2, nämlich einmal mit [mm]x_i[/mm] = 0 sowie [mm]x_i[/mm] = 1. Naja, für [mm]x_i[/mm] = 0 kann man ja auch 0 schreiben (da ja [mm]0*P(X_n[/mm] = 0 = 0 ist, oder?), also bleibt ein einiziger Summend, nämlich
> 1 * [mm]P(X_n[/mm] = 1) bzw. [mm]P(X_n[/mm] = 1)
> #Nachtrag: Moment, spielt hier die nicht die Menge der
> Blöcke pro Generatrion eine Rolle, also [mm]2^n?[/mm] Wäre es dann
> nicht [mm]1/2^n?[/mm] Das ist mir gerade durch den Kopf gegegangen,
> vielleicht geht das ja in die richtige Richtung.
Hier hilft es sich das formal mal aufzuschreiben, was die Menge [mm] $\{X_n = 1\}$ [/mm] ist, denn nur Mengen kann man messen mit einem Wahrscheinlichkeitsmaß [mm] \IP [/mm] und wenn man sowas schreibt, wie [mm] P(X_n [/mm] = 1) muss der Ausdruck im P eine Menge sein.
Formal ausgeschrieben wäre das sowas: [mm] $\{X = 1\} [/mm] = [mm] \{\omega \in \Omega: X(\omega) = 1\}$
[/mm]
Bei dir ist [mm] \Omega [/mm] = [0,1] und damit steht da:
[mm] $\{X_n = 1\} [/mm] = [mm] \{\omega \in [0,1]: X_n(\omega) = 1\} [/mm] = [mm] [k2^{-l},(k+1)2^{-l}]$
[/mm]
Und damit: $P(X=1) = [mm] P([k2^{-l},(k+1)2^{-l}])$
[/mm]
Damit sollte dir auch klar sein, dass für Indikatorfunktionen immer gilt: [mm] $E[1_A] [/mm] = [mm] P(1_A [/mm] = 1) = P(A)$ (das ist gut zu wissen!), d.h. der Erwartungswert einer Indikatorfunktion ist immer das Maß der entsprechenden Menge.
Und was ist das Maß eines Intervalls?
> Übrigens habe ich mich nochmal mit den "Wie siehen die
> Graphen denn aus?" beschäftigt. Wenn ich mich nicht
> verzeichnet haben, sind dass dann nicht immer kleiner
> werdende "Zacken" (oder wie du es nanntes "Türme"), welche
> sich von 0 in Richtung 1 bewegen?
Welche Höhe haben die "Zacken"?
Wir machen Fortschritte
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:02 Do 19.06.2014 | | Autor: | jusates |
Hallo nochmal zu später Stunde,
> Hier hilft es sich das formal mal aufzuschreiben, was die
> Menge [mm]\{X_n = 1\}[/mm] ist, denn nur Mengen kann man messen mit
> einem Wahrscheinlichkeitsmaß [mm]\IP[/mm] und wenn man sowas
> schreibt, wie [mm]P(X_n[/mm] = 1) muss der Ausdruck im P eine Menge
> sein.
>
> Formal ausgeschrieben wäre das sowas: [mm]\{X = 1\} = \{\omega \in \Omega: X(\omega) = 1\}[/mm]
>
> Bei dir ist [mm]\Omega[/mm] = [0,1] und damit steht da:
>
> [mm]\{X_n = 1\} = \{\omega \in [0,1]: X_n(\omega) = 1\} = [k2^{-l},(k+1)2^{-l}][/mm]
>
> Und damit: [mm]P(X=1) = P([k2^{-l},(k+1)2^{-l}])[/mm]
Ah, ok. Dann kommt ja letztenendes folgendes bei herum was meine Aussagen in die richtige Richtung zeigt:
[mm] P([k2^{-l},(k+1)2^{-l}]) [/mm] = [mm] (k+1)2^{-l} [/mm] - [mm] k2^{-l} [/mm] = [mm] (k+1-k)*2^{-l} [/mm] = [mm] 2^{-l}
[/mm]
Wenn nun aber n gegen unendlich strebt, so strebt auch zwangsweise l gegen unendlich (da man ja jedes n als [mm] 2^l [/mm] + k schreiben kann laut Voraussetzung!). Und somit folgt, dass das Ganze gegen 0 strebt, richtig?
> Damit sollte dir auch klar sein, dass für
> Indikatorfunktionen immer gilt: [mm]E[1_A] = P(1_A = 1) = P(A)[/mm]
> (das ist gut zu wissen!), d.h. der Erwartungswert einer
> Indikatorfunktion ist immer das Maß der entsprechenden
> Menge.
Wird direkt notiert! Das wird mir sicherlich später bei Aufgaben noch nützlich sein!
> Welche Höhe haben die "Zacken"?
Die Höhe ist doch dann 1, da ich ja nur zwischen 0 und 1 "springen" kann (je nachdem ob ich im Intervall liege oder nicht). Die Breite variert je nachdem in welcher Generation ich mich gerade befinde, richtig? (Bei der 1. Generation (also nur mit n=1) habe ich eine Zacke, bei der 2. Generation 2 (n=2 und n=3) usw.)
> Wir machen Fortschritte
Hurra! Wenigstens ein kleiner Erfolg den man feiern kann! =)
Nun, zu der c) und d) habe ich mir ein paar Gedanken gemacht und auch mit einem Kommilitonen mit beraten, ich (bzw. wir) sind überzeugt, dass c) gilt, jedoch bei d) etwas schief geht. Ich vermute, bei c) nutzt man eine ähnliche Abschätzung wie bei b) also etwas in die Richtung von [mm] 1/2^n.
[/mm]
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Hiho,
> Ah, ok. Dann kommt ja letztenendes folgendes bei herum was
> meine Aussagen in die richtige Richtung zeigt:
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> [mm]P([k2^{-l},(k+1)2^{-l}])[/mm] = [mm](k+1)2^{-l}[/mm] - [mm]k2^{-l}[/mm] =
> [mm](k+1-k)*2^{-l}[/mm] = [mm]2^{-l}[/mm]
>
> Wenn nun aber n gegen unendlich strebt, so strebt auch
> zwangsweise l gegen unendlich (da man ja jedes n als [mm]2^l[/mm] +
> k schreiben kann laut Voraussetzung!). Und somit folgt,
> dass das Ganze gegen 0 strebt, richtig?
> > Welche Höhe haben die "Zacken"?
>
> Die Höhe ist doch dann 1, da ich ja nur zwischen 0 und 1
> "springen" kann (je nachdem ob ich im Intervall liege oder
> nicht). Die Breite variert je nachdem in welcher Generation
> ich mich gerade befinde, richtig? (Bei der 1. Generation
> (also nur mit n=1) habe ich eine Zacke, bei der 2.
> Generation 2 (n=2 und n=3) usw.)
> Nun, zu der c) und d) habe ich mir ein paar Gedanken
> gemacht und auch mit einem Kommilitonen mit beraten, ich
> (bzw. wir) sind überzeugt, dass c) gilt, jedoch bei d)
> etwas schief geht. Ich vermute, bei c) nutzt man eine
> ähnliche Abschätzung wie bei b) also etwas in die
> Richtung von [mm]1/2^n.[/mm]
Ja, oder ihr habt mal gezeigt, dass aus Konvergenz bezüglich einer [mm] $||*||_p$-Norm [/mm] stochastische Konvergenz direkt folgt.
Zur d). Betrachte mal den [mm] \limsup [/mm] und den [mm] \liminf
[/mm]
Welchen Zusammenhang kennst du zwischen der Existenz von [mm] \lim [/mm] und dem [mm] $\limsup$ [/mm] bzw [mm] $\liminf$?
[/mm]
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:40 Sa 21.06.2014 | | Autor: | jusates |
Hallo!
Entschuldige für die späte Antwort, hatte noch einiges zu tun!
Zur der c) habe ich tatsächlich den Satz gefunden, den du geschrieben hattest. Das machte die Aufgabe ziemlich einfach.
Bei der d) habe ich argumentiert, dass es für ein festes [mm] \omega \in [/mm] [0,1] theoretisch unendlich viele [mm] X_n [/mm] existieren, wo [mm] X_n(\omega) [/mm] = 0 wäre, jedoch auch undendlich viele [mm] X_n [/mm] wo [mm] X_n(\omega) [/mm] = 1 wäre. Daraus habe ich dann geschlossen, dass es nicht fast sicher konvergent sein kann.
Würde die Argumentation so funktionieren?
Zu der Limes-Sache: Naja der [mm] \limes \sup [/mm] und der [mm] \limes \inf [/mm] müssen übereinstimmen. Das wäre vermutlich besser als Argument gewesen als meine obige Erklärung, aber mir viel nichts besseres ein. Verdammt! Aber gut, immerhin ist der Rest gut erklärt und diesmal "formal richtig" aufgeschrieben! =)
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Hiho,
> Bei der d) habe ich argumentiert, dass es für ein festes
> [mm]\omega \in[/mm] [0,1] theoretisch unendlich viele [mm]X_n[/mm]
> existieren, wo [mm]X_n(\omega)[/mm] = 0 wäre, jedoch auch
> undendlich viele [mm]X_n[/mm] wo [mm]X_n(\omega)[/mm] = 1 wäre. Daraus habe
> ich dann geschlossen, dass es nicht fast sicher konvergent
> sein kann.
Ja, das ist ja richtig. Was ist also [mm] $\limsup_{n\to\infty} X_n$ [/mm] und was ist [mm] $\liminf_{n\to\infty} X_n$?
[/mm]
Deine Idee deckt sich ja völlig mit der mathematischen Argumentation, du musst sie nur auch so aufschreiben
Gruß,
Gono.
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