Konvergenz von Reihen < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:14 Mo 04.02.2013 | | Autor: | DragoNru |
| Aufgabe | | [mm] \bruch{1}{2}+\bruch{3}{4}+\bruch{5}{6}+\bruch{7}{8}+.... [/mm] |
Moin,
Hab mich mal an den Nachweis der Konvergenz rangetraut.
Die Bildungsvorschrift wäre
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{2n-1}{2n}
[/mm]
Nun mit dem Minoratenkriterium nachweisen
[mm] \bruch{2n-1}{2n} \ge \bruch{1}{2}
[/mm]
=> [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{2n-1}{2n} \ge \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{2}
[/mm]
=> [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{2n-1}{2n} \ge \infty [/mm] => somit divergent
wäre die Beweisfolgerung so inordnung?
Gruß Stas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:34 Mo 04.02.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stas!
Der Beweis wäre m.E. so okay, mit einer kleinen Anmerkung: unter dem Summenzeichen musst Du aber auch jeweils [mm]\red{n}=1[/mm] schreiben.
Ein anderer Ansatz wäre zu zeigen, dass gilt [mm]\lim_{n\rightarrow\infty}a_n \ = \ \lim_{n\rightarrow\infty}\bruch{2n-1}{2n} \ \not= \ 0[/mm] .
Daraus folgt dann auch unmittelbar die Divergenz.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:49 Mo 04.02.2013 | | Autor: | DragoNru |
hoppla, stimmt ganz vergessen das i zu ändern.
Also wäre eine andere Herangehensweise für Divergenz, nachzuweisen, ob die summe gegen null konvergiert?
wäre es so in Ordnung
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] = [mm] \lim_{n\rightarrow\infty}\bruch{2n-1}{2n} \not= [/mm] 0
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty}\bruch{2n-1}{2n} [/mm] = [mm] \lim_{n\rightarrow\infty}\bruch{2\bruch{n}{n}-1/n}{2\bruch{n}{n}} [/mm] = 1 [mm] \lim_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{1}{n}}{1} [/mm] = 1
Da nicht 0, divergent
Gruß Stas
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Hallo Dragon,
> hoppla, stimmt ganz vergessen das i zu ändern.
>
> Also wäre eine andere Herangehensweise für Divergenz,
> nachzuweisen, ob die summe gegen null konvergiert?
Nicht die Summe, sondern die Folge [mm] a_n. [/mm] Du hast jedeoch Recht. Die Folge muss eine Nullfolge sein, damit die Summe konvergieren kann (notwendige Bedingung).
> wäre es so in Ordnung
>
> [mm]\lim_{n\rightarrow\infty}a_n[/mm] =
> [mm]\lim_{n\rightarrow\infty}\bruch{2n-1}{2n} \not=[/mm] 0
>
> [mm]\lim_{n\rightarrow\infty}\bruch{2n-1}{2n}[/mm] =
> [mm]\lim_{n\rightarrow\infty}\bruch{2\bruch{n}{n}-1/n}{2\bruch{n}{n}}[/mm]
> = 1 [mm] \red{-}[/mm] [mm]\lim_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{1}{n}}{1}[/mm] = 1
> Da nicht 0, divergent
Ja, das passt so.
>
> Gruß Stas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:17 Mo 04.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> hoppla, stimmt ganz vergessen das i zu ändern.
>
> Also wäre eine andere Herangehensweise für Divergenz,
> nachzuweisen, ob die summe gegen null konvergiert?
> wäre es so in Ordnung
>
> [mm]\lim_{n\rightarrow\infty}a_n[/mm] =
> [mm]\lim_{n\rightarrow\infty}\bruch{2n-1}{2n} \not=[/mm] 0
>
> [mm]\lim_{n\rightarrow\infty}\bruch{2n-1}{2n}[/mm] =
> [mm]\lim_{n\rightarrow\infty}\bruch{2\bruch{n}{n}-1/n}{2\bruch{n}{n}}[/mm]
> = 1 [mm]\lim_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{1}{n}}{1}[/mm] = 1
> Da nicht 0, divergent
Wenn Du sowas in einer meiner Klausuren schreiben würdest, würde ich Dir 0,00000 Punkte geben !
Warum ?
Darum:
1. " Da nicht 0, divergent" ist nichtssagend, hat mit Mathematik nichts zu tun.
2. Wer so was schreibt, ist einfach nur zu faul, ein paar erläuternde Worte zu spendieren. Das belohne ich nicht.
Was hindert Dich daran, etwa folgendes zu schreiben:
da [mm] (a_n) [/mm] keine Nullfolge ist, ist [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] divergent.
ist das so aufwändig ? Geht Dir dabei die Puste aus ?
FRED
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> Gruß Stas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:47 Mo 04.02.2013 | | Autor: | DragoNru |
Danke für den Tipp. Werde in der Klausur und auf meinem Lösungsblatt darauf achten.
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