Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:12 Mo 07.01.2013 | | Autor: | piriyaie |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(n!)^{2}}{(2n)!} [/mm] |
Hallo,
ich soll die Konvergenz obiger Reihe zeigen. Mir machen aber die ! Probleme.
ich hätte es so gelöst:
q = [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{2}} [/mm] = 2
|q| = |2| = 2 > 1
Da aber die Reihe konvergiert weiß ich, dass mein ergebnis falsch ist.
Aber wie löse ich eine solche Aufgabe mit Fakultäten?
Danke schonmal.
Grüße
Ali
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> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(n!)^{2}}{(2n)!}[/mm]
> Hallo,
>
> ich soll die Konvergenz obiger Reihe zeigen. Mir machen
> aber die ! Probleme.
>
> ich hätte es so gelöst:
>
> q = [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}[/mm] = [mm]\bruch{1}{\bruch{1}{2}}[/mm] = 2
>
> |q| = |2| = 2 > 1
>
> Da aber die Reihe konvergiert weiß ich, dass mein ergebnis
> falsch ist.
>
> Aber wie löse ich eine solche Aufgabe mit Fakultäten?
>
> Danke schonmal.
>
> Grüße
> Ali
Dann rechne uns dein Quotientenkriterium einmal vor, ich komme auf einen anderen Grenzwert, der auch zur Konvergenz passt ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:53 Mo 07.01.2013 | | Autor: | piriyaie |
Also ich habs grad nochmal probiert. Ich würde es so machen:
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}}=\bruch{(n+1!)^{2}}{(2n+1!)}:\bruch{(n!)^{2}}{(2n!)}=\bruch{(n+1!)^{2}*(2n!)}{(2n+1)*(n!)^{2}}=\bruch{(n+1!)*(n+1!)*(2n!)}{(2n+1)*(n!)(n!)}=\bruch{(n!)*(n+1)*(n!)*(n+1)*2*(n!)}{2*(n!)*(n+1)*(n!)*(n!)}=n+1
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{n=1}^{\infty}n+1=\infty
[/mm]
Aber das ist ja wohl falsch :-(
ich hab keine ahnung was ich genau machen soll um den Grenzwert zu finden :-(
Danke schonmal.
Grüße
Ali
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:02 Mo 07.01.2013 | | Autor: | piriyaie |
Also ich habe es soeben rausgefunden. :-D
JUHUUUU...
die Reihe konvergiert gegen [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
ich habe bei obiger Lösung den fehler gemacht, dass ich gedacht habe (2n)! = (2n!) und das ist eben nicht der fall.
hab ich recht?
grüße
Ali
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Fehler wohl korrekt gefunden, der Grenzwert sollte aber 1/4 und nicht 1/2 sein ;)
Also so kann man deiner Rechnung leider schlecht folgen, da sie falsch geschrieben (Fakultätszeichen!) und eben auch falsch ist, aber du kannst dein [mm] $((n+1)!)^2$ [/mm] in [mm] $(n!*(n+1))^2=n!^2*(n+1)^2$ [/mm] umwandeln und das $(2*(n+1))!$ in $(2n+2)!=2n!*(2n+1)*(2n+2)$
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:10 Mo 07.01.2013 | | Autor: | piriyaie |
was??? nein! ich bin mir eigentlich sicher, dass der grenzwert [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ist. wie kommst du auf [mm] \bruch{1}{4}????
[/mm]
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> was??? nein! ich bin mir eigentlich sicher, dass der
> grenzwert [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ist. wie kommst du auf
> [mm]\bruch{1}{4}????[/mm]
$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(n!)^{2}}{(2n)!} [/mm] $
$ [mm] \bruch{((n+1)!)^2*(2n)!}{(2*(n+1))!*(n!)^2} [/mm] = [mm] \bruch{n!^2*(n+1)^2*(2n)!}{(2n)!*(2n+1)*(2n+2)*(n!)^2}=\bruch{n^2+2n+1}{4n^2+6n+2} \to \bruch{1}{4}$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:29 Mo 07.01.2013 | | Autor: | piriyaie |
> > was??? nein! ich bin mir eigentlich sicher, dass der
> > grenzwert [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ist. wie kommst du auf
> > [mm]\bruch{1}{4}????[/mm]
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(n!)^{2}}{(2n)!}[/mm]
>
> [mm]\bruch{((n+1)!)^2*(2n)!}{( [red] 2 [/red] *(n+1))!*(n!)^2} = \bruch{n!^2*(n+1)^2*(2n)!}{(2n)!*(2n+1)*(2n+2)*(n!)^2}=\bruch{n^2+2n+1}{4n^2+6n+2} \to \bruch{1}{4}[/mm]
>
>
Warum multiplizierst du hier die 2???? (rot markiert)
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Ich habe eigentlich gar nichts multipliziert. Du hast doch von der Aufgabenstellung her ein $(2n)!$ im Nenner, oder? Daraus wird bei [mm] $a_{n+1}$ [/mm] ein $(2*(n+1))!$. Ganz ausführlich: $(2n+2)!$ Und jetzt sollte es klar sein.
Oder du hast mir eine falsche Aufgabe gepostet ^^
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:52 Mo 07.01.2013 | | Autor: | piriyaie |
sorry... aber das kapiere ich nicht ganz. warum wird da bei [mm] a_{n+1} [/mm] aus dem (2n)! nicht (2n+1)!
???
Nein die aufgabe hab ich richtig gepostet...
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Hallo Ali,
> sorry... aber das kapiere ich nicht ganz. warum wird da bei
> [mm]a_{n+1}[/mm] aus dem (2n)! nicht (2n+1)!
>
> ???
Weil Du statt n nun (n+1) in das Bildungsgesetz eines Folgenglieds einsetzt. Deswegen eben statt (2n)! nun (2(n+1))!
Wenn Du das mit Variablen nicht siehst, dann setz mal erst n=3 ein, dann n=4. Oder andere benachbarte Zahlen.
> Nein die aufgabe hab ich richtig gepostet...
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:15 Mo 07.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> sorry... aber das kapiere ich nicht ganz. warum wird da bei
> [mm]a_{n+1}[/mm] aus dem (2n)! nicht (2n+1)!
>
> ???
>
> Nein die aufgabe hab ich richtig gepostet...
na, wenn man $y=(2*x)!$ hat, dann hast Du für [mm] $x=n\,$ [/mm] halt
$$y=(2*n)!$$
und für $x=n+1$ hast Du halt
$$y=(2*(n+1))!$$
Analog:
[mm] $$a_{n}=(2*n)!$$
[/mm]
Dann ist [mm] $a_{\tilde{n}}=(2*\tilde{n})!$ [/mm] und für [mm] $\tilde{n}=n+1$ [/mm] folgt halt
[mm] $$a_{n+1}=a_{\tilde{n}}=(2*\tilde{n})!=(2*(n+1))!\,,$$
[/mm]
und ansonsten rechnet man halt noch $2*(n+1)=2n+2$ aus!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:26 Di 08.01.2013 | | Autor: | piriyaie |
SPITZE. Danke leute!!! habs kapiert :-D mir war dieses 2n+2 ständig ein rätsel. habs aber nur voll und ganz verstanden.
lg
ali
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 23:08 Mo 07.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Fehler wohl korrekt gefunden, der Grenzwert sollte aber 1/4
> und nicht 1/2 sein ;)
wenn ich diese Antwort bzgl. der Frage des Fragestellers lese, heißt das
also, dass die Reihe NICHT GEGEN 1/2, sondern gegen 1/4 konvergiert.
Und [mm] $\sum_{k=0}^\infty q^k$ [/mm] konvergiert also für sogar alle [mm] $q\,$ [/mm] stets gegen
[mm] $$\lim_{n \to \infty}|q^{n+1}/q^n|=\lim_{n \to \infty} |q|=|q|\text{ ?}$$
[/mm]
Setzt doch bitte diesen "Hilfsmittelgrenzwert" nicht mit dem Reihenwert
gleich...
Gruß,
Marcel
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 12:03 Di 08.01.2013 | | Autor: | Adamantin |
Völlig richtig, von mir aber auch nie anders gemeint, da er direkt mit n+1 argumentiert hat, daher habe ich darüber großzügig hinweggelesen. Sollte wirklich 1/2 als realer Grenzwert der Reihe gemeint gewesen sein, ist das was anderes. Ich denke, er meinte aber ebenfalls den Grenzwert des Quotientenkriteriums ;)
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(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 12:32 Di 08.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Adamantin,
> Völlig richtig, von mir aber auch nie anders gemeint, da
> er direkt mit n+1 argumentiert hat, daher habe ich darüber
> großzügig hinweggelesen.
das finde ich aber gefährlich, denn nicht selten, und das sieht man den
Fragesteller(inne)n hier an (also generell im Matheraum, nicht speziell hier),
denken manche, dass man hier so den Reihenwert berechnen würde. (Mir ist
nach wie vor schleierhaft, wie man auf diese Idee kommt, wenn man sich mal
die Beweise angeguckt hat. Anscheinend wird das momentan oft unterlassen,
liegt wohl am Druck, den es nun durch das Bachelor-/Master-System gibt,
dass man denkt, dafür keine Zeit zu haben? Vielleicht müssen die Professoren
dann in ihren Skripten mal dazuschreiben, dass man weder mit dem WK noch
mit dem QK konkret den Grenzwert einer Reihe berechnet, sondern dass man
da nur "Hilfsmittelgrenzwerte" berechnet..."
> Sollte wirklich 1/2 als realer
> Grenzwert der Reihe gemeint gewesen sein, ist das was
> anderes. Ich denke, er meinte aber ebenfalls den Grenzwert
> des Quotientenkriteriums ;)
Das weiß ich eben nicht. Außerdem soll man sagen, was man meint, und nicht
sagen: "Ich hab' zwar das falsche gesagt, aber das richtige gemeint..." Dafür
gibt's in Prüfungen keine Punkte. Außerdem würde das Leben dann verdammt
kompliziert; kann sich doch jeder Politiker dann mit dieser "Floskel" aus seinen
Wahlversprechen rausreden.  (Mal unabhängig davon, was da sowieso
sonst schon alles "Praxis" ist...)
Und nebenbei: Nicht nur Politiker. Die Arbeitgeber: "Ich habe zwar gesagt,
dass Sie für diese Extraarbeit eine Sonderzahlung erhalten, aber gemeint habe
ich in Wirklichkeit..."
Deswegen habe ich ja auch den Fragesteller auf "seinen Sprachgebrauch"
hingewiesen - bei Dir ging's mir eher drum, Dich drauf hinzuweisen, dass man
ihn besser drauf hinweist.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:05 Mo 07.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
Mensch, Leute:
> Also ich habe es soeben rausgefunden. :-D
>
> JUHUUUU...
>
> die Reihe konvergiert gegen [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
den Wert, den man beim Quotientenkriterium (und auch Wurzelkriterium)
ausrechnet, ist IM ALLGEMEINEN NICHT DER REIHENWERT!
Bitte achtet auf die Sprache!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:39 Di 08.01.2013 | | Autor: | piriyaie |
Hallo Marcel,
ich habs schon kapiert. Hier wird beim QK wie auch beim WK nicht der Grenzwert der reihe berechnet sondern lediglich ein wert der mir hilft zu sagen ob die reihe konvergiert oder divergiert. den grenzwert berechne ich anderst mit einer formel.
ist doch das was du gemeint hast. oder?
lg
ali
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:16 Di 08.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> ich habs schon kapiert. Hier wird beim QK wie auch beim WK
> nicht der Grenzwert der reihe berechnet sondern lediglich
> ein wert der mir hilft zu sagen ob die reihe konvergiert
> oder divergiert.
genau!
> den grenzwert berechne ich anderst mit
> einer formel.
Sofern das den so einfach möglich ist oder Du eine Formel findest. Ich gebe
ja gerne das Standardbeispiel: Zeige mir mal, dass
[mm] $$\sum_{n=1}^\infty 1/n^2=\pi^2/6$$
[/mm]
gilt. (Relativ leicht kann man aber zeigen, dass diese Reihe konvergiert -
aber nicht mit dem WK und auch nicht mit dem QK.)
> ist doch das was du gemeint hast. oder?
Ja!
Gruß,
Marcel
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