Konvergenz von Reihen < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:09 Di 14.02.2012 | | Autor: | nils1991 |
Hallo, konnte mein Problem bisher durchs durchstöbern des Forums nicht lösen. Ich muss in einer Aufgabe bestimmen, ob Reihen konvergieren oder divergieren.
Ich kenne das Quotientenkriterium, allerdings komme ich bspw. bei meinen Berechnungen zur harmonischen Reihe zu dem Ergebnis, dass sie konvergiert, was allerdings laut Vorlesung nicht der Fall ist.
Mein Ergebnis lautet da nämlich n/(n+1), was ja kleiner 1 ist und somit für Konvergenz sprechen sollte. In der Vorlesung ist noch von einem q die Rede, allerdings weiß ich nicht woher das kommt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Liebe Grüße Nils
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> Hallo, konnte mein Problem bisher durchs durchstöbern des
> Forums nicht lösen. Ich muss in einer Aufgabe bestimmen,
> ob Reihen konvergieren oder divergieren.
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> Ich kenne das Quotientenkriterium, allerdings komme ich
> bspw. bei meinen Berechnungen zur harmonischen Reihe zu dem
> Ergebnis, dass sie konvergiert, was allerdings laut
> Vorlesung nicht der Fall ist.
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> Mein Ergebnis lautet da nämlich n/(n+1), was ja kleiner 1
> ist und somit für Konvergenz sprechen sollte. In der
Wieso ist es das? Das Quotientenkriterium gilt für den Fall $n [mm] \to \infty$. [/mm] Was ist denn der Grenzwert? Ist hier eine Aussage mittels des Kriteriums möglich?
> Vorlesung ist noch von einem q die Rede, allerdings weiß
> ich nicht woher das kommt.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Liebe Grüße Nils
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Di 14.02.2012 | | Autor: | nils1991 |
Also ich hatte mir das so gedacht, dass wenn man davon ausgeht, dass n>1 ist der Nenner die größere Zahl aufweist und somit die Zahl immer kleiner 1 wäre.
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> Also ich hatte mir das so gedacht, dass wenn man davon
> ausgeht, dass n>1 ist der Nenner die größere Zahl
> aufweist und somit die Zahl immer kleiner 1 wäre.
Ganz falsch ;) Wenn du Zahlen einsetzt, mag dies erst einmal intuitiv der erste Verdacht sein, was aber bewirkt eine +1 im Nenner, wenn die Zahl unendlich groß wird? Kannst du dann so argumentieren? Grenzwerte sind unintuitiv und du kannst niemals einfach annehmen, für Unendlich wird das +1 schon etwas ausmachen. Richtig wäre zu zeigen:
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\vmat{\bruch{n}{n+1}}= \limes_{n\rightarrow\infty}\vmat{ \bruch{1}{1+\bruch{1}{n}}}=1$
[/mm]
Demnach ist dein q, wie Infinite dir schon gesagt hat, nicht echt kleiner als 1. Eine Aussage ist mittels Quotientenkriterium nicht möglich!
Dies kannst du auch sehr gut im Papula nachlesen.
Anders gesagt: Du beginnst mit einer deutlichen Diskrepanz zu 1, nämlich für n=1 mit [mm] \bruch{1}{2}. [/mm] Für größer werdende n näherst du dich aber asymptotisch so lange der 1 an, bis der Unterschied absolut marginal wird und im Grenzfall eben ganz verschwindet, so dass n+1 mit n identisch ist, sofern wir n gegen Unendlich schicken. Du musst also in Zukunft bei der Überprüfung auf Konvergenz immer ordentlich eine Grenzwertbetrachtung durchführen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:37 Di 14.02.2012 | | Autor: | nils1991 |
Weitaus verständlicher als mein Prof das immer hinkriegt Kann man also davon ausgehen, dass wenn man die Variablen nicht wegkürzen kann es divergiert?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:43 Di 14.02.2012 | | Autor: | Adamantin |
Jein ;) Bei diesen ganz einfachen Aufgaben hast du recht. Steht im Zähler ein [mm] $n^2$ [/mm] und im Nenner ein $n$, ist der Schluss aufgrund des Quadrates sofort erlaubt, dass der Zähler schneller wächst und ein Grenzwert nicht existieren kann, hier ist also sogar m.E. keine Grenzwertbetrachtung nötig. Kürzen würde ja n/1 liefern und für n gegen Unendlich eben einen nicht ex. Grenzwert.
ABER das ganze Thema ist natürlich extrem komplizierter, vielfältiger und in eigenen Büchern behandelt. Du wirst noch oder hast schon das Wurzelkriterium kennenlernen, mit dem andere Arten von Brüchen behandelbar sind. Und dann gibt es eben Folgen, wo keines der beiden Kriterien weiterhilft, und du musst auf Minoranten, Majoranten etc. zurückgreifen, also z.B: eine Folge finden, die nach oben abgeschätzt größer ist, von der du aber weißt, dass sie konvergiert. Dann konvergiert auch die kleinere ;)
also z.B. eine Reihe wie
[mm] $\summe_{i=1}^{n} \wurzel[n]{n}$
[/mm]
Hier hilft die "Kürzen" wenig. Oder
[mm] $\summe_{i=1}^{n} \bruch{n^n}{n!}$
[/mm]
Auch hier ist Kürzen direkt nicht möglich, aber sinnvolles Aufschreiben führt sofort zum Ziel. Usw und so fort ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:51 Di 14.02.2012 | | Autor: | nils1991 |
Vielen Dank, wenn es nochmal Probleme gibt weiß ich ja an wen ich mich wenden kann
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:48 Di 14.02.2012 | | Autor: | Infinit |
Nein, kürzen alleine hilft nicht. Du brauchst die Grenzwertbetrachtung.
Bei einem Ausdruck wie
[mm] \bruch{n}{n+1} = \bruch{n+1-1}{n+1} = 1 - \bruch{1}{n+1} [/mm] bleibt ja auch immer noch eine Abhängigkeit von n erhalten, erst die Grenzwertbetrachtung hilft hier weiter.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 Di 14.02.2012 | | Autor: | nils1991 |
Okay, aber wenn der limes dann bei 1 liegt kann ich von Divergenz ausgehen oder wie fahre ich dann weiter fort?
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> Okay, aber wenn der limes dann bei 1 liegt kann ich von
> Divergenz ausgehen oder wie fahre ich dann weiter fort?
nein, bei 1 kann keine aussage getroffen werden
bsp:
[mm] \summe_{i=1}\frac{1}{n} [/mm] harmonische reihe divergiert, der limes des quot-krits wäre 1
[mm] \summe_{i=1}\frac {1}{n^2}, [/mm] quot krit auch hier 1. diese reihe konvergiert aber
gruß tee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:01 Di 14.02.2012 | | Autor: | nils1991 |
und wie gehe ich dann weiter vor?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:20 Di 14.02.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo Nils,
was Du da noch aus der Vorlesung mitgenommen hast, ist genau der Limesausdruck, den Dir Adamantin bereits beschrieben hat. Das q kommt vom Quotienten her und deswegen schreibt man als Ausdruck für das Quotientenkriterium
[mm] q = \lim_{n \rightarrow \infty} |\bruch{a_{n+1}}{a_n}| [/mm] das allerdings im Falle q = 1 keine Aussage liefert.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:25 Di 14.02.2012 | | Autor: | nils1991 |
Aber in meinem Fall wäre q doch nie gleich 1, da Zähler dann gleich sein müssten.
Ich glaube allerdings, dass ich einen Denkfehler habe, ich weiß allerdings leider nicht wo der liegt.
Vielen Dank schon mal für schnellen Antworten
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:08 Mi 15.02.2012 | | Autor: | fred97 |
Ja, da haben wir es wieder, einhäufig vorkommendes Missvrständnis.
Gegeben: eine Reihe [mm] \sum a_n [/mm] mit [mm] a_n \ne [/mm] 0 für alle n.
Wir betrachten 2 Eigenschaften der Folge [mm] (a_n):
[/mm]
[mm] (E_1): [/mm] es gibt ein q mit 0 [mm] \le [/mm] q <1, so, dass [mm] $|\bruch{a_{n+1}}{a_n}| \le [/mm] q$ für fast alle n.
[mm] (E_2): $|\bruch{a_{n+1}}{a_n}| [/mm] <1$ für fast alle n.
Dann haben wir:
1. gilt [mm] (E_1), [/mm] so konvergiert [mm] \sum a_n [/mm] absolut (das ist die Aussage des Quotientenkriteriums)
2. [mm] (E_1) \Rightarrow (E_2).
[/mm]
Nun kommt das Missverständnis:
viele glauben, dass auch [mm] (E_2) \Rightarrow (E_1) [/mm] gilt.
Dass dem nicht so ist, zeigt z.B. die Folge [mm] $a_n:=1/n$
[/mm]
FRED
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