Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:09 Mo 13.12.2010 | | Autor: | katrin10 |
| Aufgabe | | Untersuchen Sie die Reihe [mm] \summe_{i=0}^{n}\bruch{i^2-2i}{8i^3+5} [/mm] auf Konvergenz. |
Hallo,
zum Lösen dieser Aufgabe habe ich das Majorantenkriterium verwendet und den [mm] \bruch{1}/{8i} [/mm] als Majorante erhalten. Da [mm] \summe_{i=0}^{n}\bruch{1}/{8i} [/mm] jedoch nicht konvergiert, gehe ich davon aus, dass die gegebene Reihe divergiert und ich daher eine divergente Minorante finden muss. Daher habe ich als Minorante [mm] \bruch{1-2/i}{9i} [/mm] bestimmt, da die harmonische Reihe divergiert.
Ist diese Vorgehensweise richtig?
Vielen Dank und viele Grüße
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Hallo katrin10,
> Untersuchen Sie die Reihe
> [mm]\summe_{i=0}^{n}\bruch{i^2-2i}{8i^3+5}[/mm] auf Konvergenz.
> Hallo,
> zum Lösen dieser Aufgabe habe ich das Majorantenkriterium
> verwendet und den [mm]\bruch{1}/{8i}[/mm] als Majorante erhalten. Da
> [mm]\summe_{i=0}^{n}\bruch{1}/{8i}[/mm] jedoch nicht konvergiert,
Jo, divergente Majoranten bringen für die Untersuchung auf Konvergenz nicht viel 
> gehe ich davon aus, dass die gegebene Reihe divergiert
Ja, das kannst du aufgrund der Größenordung der Reihe, das ist ja eine (Variante der) harmonischen Reihe
> und
> ich daher eine divergente Minorante finden muss. Daher habe
> ich als Minorante [mm]\bruch{1-2/i}{9i}[/mm] bestimmt, da die
> harmonische Reihe divergiert.
Das ist schon ganz gut, aber das ist ja noch nicht die harmonische Reihe (bzw. ein Vielfaches, schätze mal das [mm]-\frac{2}{i}[/mm] im Zähler noch weg ...)
> Ist diese Vorgehensweise richtig?
Ja, schon sehr gut ...
> Vielen Dank und viele Grüße
Ebenso
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 Mo 13.12.2010 | | Autor: | katrin10 |
Vielen Dank für die schnelle Antwort.
Beim Abschätzen des Zählers war ich mir nicht ganz sicher, denn ich muss für 1-2/i eine kleiner Zahl finden. Kann ich den Zähler mit jeder beliebigen Zahl zwischen 0 und 1, also z. B. 0,5 abschätzen, denn ab einem bestimmten Folgeglied würde die Abschätzung für alle weiteren Folgeglieder gelten?
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Hallo,
> Vielen Dank für die schnelle Antwort.
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> Beim Abschätzen des Zählers war ich mir nicht ganz
> sicher, denn ich muss für 1-2/i eine kleiner Zahl finden.
> Kann ich den Zähler mit jeder beliebigen Zahl zwischen 0
> und 1, also z. B. 0,5 abschätzen, ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Genau das hatte ich auch im Sinn!
denn ab einem bestimmten
> Folgeglied würde die Abschätzung für alle weiteren
> Folgeglieder gelten?
Ja, das sollte für [mm]i>4[/mm] gelten.
[mm]1-\frac{2}{i}>1-\frac{1}{2}\gdw-\frac{2}{i}>-\frac{1}{2}\gdw \frac{2}{i}<\frac{1}{2}\gdw \frac{i}{2}>2[/mm], also [mm]i>4[/mm]
Und dass du ein endlichen Teil der Reihe für das Konvergenzverhalten keine Rolle spielt, ist klar, eine endliche Summe ist immer endlich
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Mo 13.12.2010 | | Autor: | katrin10 |
Muss man beim Untersuchen der Konvergenz immer angeben, ab welchem Folgeglied die Abschätzung stimmt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:41 Mo 13.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Katrin!
> Muss man beim Untersuchen der Konvergenz immer angeben, ab
> welchem Folgeglied die Abschätzung stimmt?
Nein, das ist m.E. nicht notwendig (zumindest wenn es nicht explizit gefordert ist).
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:50 Mo 13.12.2010 | | Autor: | katrin10 |
Vielen Dank für die Hilfe.
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