Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:54 So 07.11.2010 | | Autor: | hansmuff |
| Aufgabe 1 | Es sei [mm] k\in \IN [/mm] mit k>1 gegeben. Es sei [mm] (a_n) [/mm] eine Folge, so dass für alle n gilt, dass [mm] a_n \in [/mm] {0,...,k-1}. Zeigen Sie, dass die Reihe [mm] \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{k^n} [/mm] konvergiert.
(Hinweis: Betrachten Sie die Folge der Partialsummen, zeigen Sie, dass diese eine Cauchyfolge bilden. Dies können Sie durch geschicktes Abschätzen zeigen.) |
| Aufgabe 2 | Es sei x [mm] \in [/mm] [0,1] gegeben. Zeigen Sie, dass es eine Folge [mm] (a_n) [/mm] gibt, so dass
(1) für alle [mm] n\in \IN [/mm] ist [mm] a_n\in [/mm] {0,...,9},
(2) die Reihe [mm] \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{10^n} [/mm] konvergiert gegen x.
(Hinweis: Überlegen Sie sich zuerst, wie man solch eine Folge [mm] a_1, a_2, a_3, [/mm] ... für ein gegebenes x definieren kann. Dann zeigen Sie, dass die Reihe die gewünschte Eigenschaft hat.) |
| Aufgabe 3 | | Ist für ein gegebenes x die Folge [mm] (a_n) [/mm] eindeutig bestimmt? Es reicht, eine kurze Begründung zu geben. |
Hallo,
könnt ihr mir bitte helfen diese Aufgaben zu lösen. Ich weiß nicht, wie ich das machen soll.
Danke.
lg, hansmuff
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Hallo HansMuff,
wo sind denn deine eigenen Ansätze?
Da stehen doch nun schon Hinweise zum Lösen.
Als zusätzlichen Tip geb ich dir noch zur ersten Aufgabe: Abschätzen über die gegebene Folgeneigenschaft und dann geometrische Reihe anwenden!
Und nun bist du dran.... hier wird dir niemald die Aufgaben lösen.
MFG,
Gono.
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