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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:54 Do 03.12.2009 | | Autor: | Jennyyy |
| Aufgabe | Entscheiden Sie, ob folgende Reihe konvergiert:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} log_{2}(1+ \bruch{1}{n})
[/mm]
Falls ja, bestimmen Sie deren Summe. |
Wie geht man an so eine Aufgabe heran?
Ich habe mir die Reihe zuerst genauer angeschaut und denke, dass für immer größere n diese Reihe gegen 0 konvergiert.
Doch wie zeige ich das?
Kann ich vielleicht das Quotientenkriterium nehmen?
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{a_{k}+1}{a_{k}} [/mm] = b
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n+1}{n}=b
[/mm]
Aber wie gehe ich weiter vor?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Jennyyy,
das Quotientenkriterium sieht nicht so erfolgversprechend aus. Der Logarithmus stört.
Mit dem Minoranten- oder Majorantenkriterium solltest Du aber leicht eine Vergleichsreihe finden, mit der es erfüllt ist (logischerweise: eins von beiden).
Du könntest auch einfach mal den Grenzwert bestimmen. Wenn das nämlich problemlos geht, ist der Nachweis seiner Existenz meistens inclusive. Oder Du entdeckst, warum es ihn nicht geben kann. Beides ist möglich.
Dazu ein Tipp:
[mm] \log_2{\left(1+\bruch{1}{n}\right)}+\log_2{\left(1+\bruch{1}{n+1}\right)}=\log_2{\left(\bruch{n+1}{n}\right)}+\log_2{\left(\bruch{n+2}{n+1}\right)}=\log_2{\left(\bruch{n+1}{n}*\bruch{n+2}{n+1}\right)}=\cdots
[/mm]
Hiermit müsstest Du die [mm] \summe_{1}^k [/mm] bestimmen können und sie dann für [mm] k\to\infty [/mm] betrachten.
lg
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:40 Fr 04.12.2009 | | Autor: | Jennyyy |
Integralkriterium hatten wir noch nicht, aber danke.
$ [mm] \log_2{\left(1+\bruch{1}{n}\right)}+\log_2{\left(1+\bruch{1}{n+1}\right)}=\log_2{\left(\bruch{n+1}{n}\right)}+\log_2{\left(\bruch{n+2}{n+1}\right)}=\log_2{\left(\bruch{n+1}{n}\cdot{}\bruch{n+2}{n+1}\right)}=\cdots [/mm] $
[mm] \log_2{\left(\bruch{n^{2}+3n+2}{n^{2}+n}\right)}
[/mm]
Nun teile ich durch [mm] n^{2}:
[/mm]
[mm] \log_2{\left(\bruch{1+3/n+2/n^{2}}{1+1/n}\right)}
[/mm]
[mm] \bruch{3}{n} [/mm] , [mm] \bruch{2}{n^{2}} [/mm] und [mm] \bruch{1}{n} [/mm] konvergieren gegen 0.
Also:
[mm] \log_2{\left(1\right)}
[/mm]
und das wäre 0.
Also ist der Grenzwert 0.
Ist das richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:52 Fr 04.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das war ein Tip! nicht das Ende.
1. wenn man kürzen kann kürzt man. also im speziellen Fall durch n+1.
2. das waren ja nur 2 Summanden. es sind aber ja noch ziemlich viel mehr.
fang mal bei n=1 an, schreib dir die ersten paar auf, indem du die Summe über den log in log von produkt verwandelst, dann überleg wie es weiter geht bis n, dann erst den GW überlegen.
Du willst ja den GW der Summe, und nicht den von 2 Summanden.
Dass log(1+1/n) selbst ne Nullfolge ist ist klar, das sollte man immer als erstes ansehen. sonst hat ja die Summe keine Chance zu konvergieren.
Die Summe konvergiert sicher nicht gegen 0, denn jeder einzelne Summand ist ja positiv!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:30 Fr 04.12.2009 | | Autor: | Jennyyy |
Ich hab mir die ersten paar aufgeschrieben.
[mm] log_{2}(\bruch{n+1}{1}*\bruch{n+2}{n+1}*\bruch{n+3}{n+2}*\bruch{n+4}{n+3}*\bruch{n+5}{n+4}*....)
[/mm]
[mm] log_{2}(2*1,5*1,3333*1,25*1,2*...)
[/mm]
Die einzelnen Summen näheren sich ja immer mehr der 1, aber man multipliziert sie ja noch miteinander, also können sie gar nicht 0 werden, hab ich verstanden danke ;)
Für [mm] n\to\infty [/mm] wirds wahrscheinlich gegen 1 laufen.
Aber wie schreibe ich sowas auf?
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Hallo Jennyyy,
Das ist Unsinn:
> Für [mm]n\to\infty[/mm] wirds wahrscheinlich gegen 1 laufen.
Wohin das wahrscheinlich läuft, wird den Aufgabensteller nicht interessieren. Du sollst es genau bestimmen.
Also:
> Ich hab mir die ersten paar aufgeschrieben.
>
> [mm]log_{2}(\bruch{n+1}{1}*\bruch{n+2}{n+1}*\bruch{n+3}{n+2}*\bruch{n+4}{n+3}*\bruch{n+5}{n+4}*....)[/mm]
>
> [mm]log_{2}(2*1,5*1,3333*1,25*1,2*...)[/mm]
Kürzen ist nicht Deine Stärke, oder?
Es gilt
[mm] \summe_{k=1}^{n}\log_{2}\left(1+\bruch{1}{k}\right)=\log_{2}(n)
[/mm]
Dies kannst Du aus Deiner Rechnung ersehen, wenn Du endlich mal das n entfernst.
Die Summe der ersten 5 Glieder ist ja
[mm] \log_{2}\left(1+\bruch{1}{1}\right)+\log_{2}\left(1+\bruch{1}{2}\right)+\log_{2}\left(1+\bruch{1}{3}\right)+\log_{2}\left(1+\bruch{1}{4}\right)+\log_{2}\left(1+\bruch{1}{5}\right)=\log_{2}\left(\bruch{\blue{2}}{1}*\bruch{\blue{3}}{\blue{2}}*\bruch{\blue{4}}{\blue{3}}*\bruch{5}{\blue{4}}\right)=\log_{2}(5)
[/mm]
> Die einzelnen Summen näheren sich ja immer mehr der 1,
> aber man multipliziert sie ja noch miteinander, also
> können sie gar nicht 0 werden, hab ich verstanden danke
> ;)
Stimmt schon, aber die Lage ist ja schlimmer als das. Die blau markierten Zahlen kürzen sich ja heraus. Wenn Du das Ergebnis von oben nimmst und den Grenzwert für [mm] n\to\infty [/mm] bildest, dann...
[mm] \limes_{n\to\infty}\summe_{k=1}^{n}\log_{2}\left(1+\bruch{1}{k}\right)=\limes_{n\to\infty}\log_{2}(n)= [/mm] ???
Na, was ist der Limes? Er ist doch genau zu bestimmen, ohne das Wort "wahrscheinlich" in der Schlussaussage.
> Aber wie schreibe ich sowas auf?
Ist die Frage jetzt immer noch aktuell?
lg
rev
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:55 Fr 04.12.2009 | | Autor: | Jennyyy |
Für [mm] n\to\infty [/mm] geht der [mm] log_{2} [/mm] ebenfalls gegen [mm] \infty.
[/mm]
Also divergiert diese Reihe gegen [mm] \infty.
[/mm]
> Ist die Frage jetzt immer noch aktuell?
Nein die Frage ist nicht mehr aktuell, ich danke dir!
Du hattest am Anfang geschrieben, dass man diese Aufgabe auch mit dem Minorantenkriterium lösen kann.
Kannst du mir das vielleicht erklären?
Sei [mm] \summe_{k=1}^{\infty}c_{k} [/mm] eine Minorante.
Dann existiert zu jedem M ein n element in M mit :
[mm] \summe_{k=1}^{n} |a_{k}|\ge \summe_{k=1}^{n} c_{k}
[/mm]
[mm] log_{2}(\bruch{k+1}{k})\ge log_{2} \bruch{1}{k}
[/mm]
Und da [mm] \bruch{1}{k} [/mm] eine divergente Reihe ist, ist [mm] \bruch{k+1}{k} [/mm] ebenfalls divergent.
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Hallo Jennyyy,
Vorsicht!
Deine Minorante ist nicht aussagekräftig. Sie divergiert gegen [mm] -\infty, [/mm] während die eigentlich zu untersuchende Reihe ja nur im Positiven bleibt. Natürlich ist sie also größer, aber vielleicht doch endlich?
> [mm]log_{2}(\bruch{k+1}{k})\ge log_{2} \bruch{1}{k}[/mm]
Stimmt. Aber der folgende Schluss ist so nicht zulässig.
> Und da [mm]\bruch{1}{k}[/mm] eine divergente Reihe ist, ist
> [mm]\bruch{k+1}{k}[/mm] ebenfalls divergent.
Du könntest aber einfach mal direkt [mm] \summe\bruch{1}{k} [/mm] als Minorante versuchen.
Um diese Abschätzung durchzuführen, helfen Dir vielleicht diese zwei Tipps bzw. Erinnerungen:
1) [mm] \log_2{a}=\bruch{\ln{a}}{\ln{2}}
[/mm]
2) [mm] \limes_{n\to\infty}\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n=e
[/mm]
lg
reverend
PS: Ich bin jetzt einigen Stunden weg, Du findest hier aber bestimmt trotzdem Hilfe. Viel Erfolg!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 Fr 04.12.2009 | | Autor: | Jennyyy |
Achso, danke reverend.
Sei [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch [/mm] {1}{k} Minorante:
[mm] \summe_{k=1}^{n}log_{2}(1+\bruch{1}{k})\ge\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k}
[/mm]
[mm] log_{2}(k)\ge \bruch{1}{k}
[/mm]
[mm] \bruch{ln(k)}{ln(2)}\ge\bruch{1}{k}
[/mm]
Aber bringt mir das etwas?
Ich muss ja irgendwie rausbekommen, dass jedes Reihenglied ist als das der divergenten harmonischen Reihe [mm] \bruch [/mm] {1}{k}.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:09 Fr 04.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Ungleichung ist falsch°
[mm] ln(1+a)\le [/mm] a für alle a.
Nimm den Beweis , den du hast. Dei Minorante [mm] a_n=1/n [/mm] klappt hier nicht.
Gruss leduart
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 20:29 Fr 04.12.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo leduart,
ich widerspreche Dir wahrlich ungern, aber hier glücklicherweise auch nur im Blick auf Deine letzte Aussage:
> Die Minorante [mm]a_n=1/n[/mm]
> klappt hier nicht.
z.z.: [mm] \bruch{1}{n}\le\log_2{\left(\bruch{n+1}{n}\right)}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{n}\le\bruch{1}{\ln{2}}\ln{\left(\bruch{n+1}{n}\right)}
[/mm]
[mm] \ln{2}\le n\ln{\left(\bruch{n+1}{n}\right)}
[/mm]
[mm] \ln{2}\le \ln{\left(\bruch{n+1}{n}\right)^n}
[/mm]
[mm] 2\le \left(\bruch{n+1}{n}\right)^n
[/mm]
Für n=1 gilt hier Gleichheit, ansonsten ist noch zu zeigen, dass die durch den Term auf der rechten Seite definierte Folge monoton wachsend ist. Dieser Nachweis ist einerseits ein ziemlich bekannter und andererseits selbst für Menschen, die eher neu in der Thematik sind, nicht schwer zu führen.
lg
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:29 Sa 05.12.2009 | | Autor: | Jennyyy |
Dankeschön für deine Hilfe reverend!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:18 Do 03.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Noch ein Tipp (ohne Gewähr): Integralkriterium (falls Ihr das hattet)
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Fr 04.12.2009 | | Autor: | Jennyyy |
Und dann muss ich ja noch die Existenz vom Grenzwert überprüfen:
Zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] existiert ein m in N, so dass für alle n in N mit [mm] n\gem [/mm] gilt:
[mm] |log_{2}(1+ \bruch{1}{n})|< \varepsilon
[/mm]
[mm] log_{2}(1+ \bruch{1}{n})<\varepsilon
[/mm]
Ist dieser Ansatz richtig?
Aber nun weiß ich nicht weiter.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:07 Fr 04.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Dass die Folge
$ [mm] (log_{2}(1+ \bruch{1}{n})) [/mm] $
eine Nullfolge ist, dürfte kein Geheimnis sein.
Falls die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}log_{2}(1+ \bruch{1}{n}) [/mm] konvergent sein sollte, so sollst Du deren Reihenwert bestimmen
FRED
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