Konvergenz von Reihen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:55 Di 30.11.2004 | | Autor: | muffie |
Hi, ich brauche dringend hilfe bei folgender Aufgabe:
Ich soll folgende Reihe auf konvergenz untersuchen:
[mm] \sum_{n=1}^{N} (n²+n)/(n^4-11n+3)
[/mm]
Also warscheinlich muss ich hier wohl das majorantenkriterium anwenden.
Kann mir jemand erklären wie ich das mache oder ein paar Tips geben.
Danke mfg Andre
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:47 Di 30.11.2004 | | Autor: | zwerg |
Tach muffie!
Guck doch mal was du in deinem Lehrbuch über das Vergleichskriterium findest ( eine Variante des Majorantenkriteriums):
Vergleichskriterium:
Hat die Folge [mm] b_{n} [/mm] für [mm] n\ge n_{0} [/mm] stets das selbe Vorzeichen, so gilt:
Ist [mm] \summe_{n=1}^{\infty}b_{n} [/mm] konvergent und gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{n}}{b_{n}}=c [/mm] mit [mm] c\not=0, [/mm] so konvergiert [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n}.
[/mm]
Ist [mm] \summe_{n=1}^{\infty}b_{n} [/mm] divergent und gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{n}}{b_{n}}=c [/mm] mit [mm] c\not=0, [/mm] so divergiert [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n}. [/mm]
Schaun wir uns jetzt mal deine Reihe an:
Der Bruch enthält als bestimmende, d.h. am schnellsten wachsende, Glieder in Zähler und Nenner [mm] n^{2} [/mm] und [mm] n^{4}. [/mm] Daher wird [mm] a_{n} [/mm] für große n wie:
[mm] \bruch{n^{2}}{n^{4}}=\bruch{1}{n^{2}}
[/mm]
aussehen.
Diese Überlegung führt uns zu einem möglicherweise geeigneten
[mm] b_{n}=\bruch{1}{n^{2}}
[/mm]
alle Klarheiten beseitigt?
MfG zwerg
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