Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:41 Do 19.04.2007 | | Autor: | MI5 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz
a) [mm] \summe_{n}^{} (-1)^{n}\bruch{1}{2+cos(n)}
[/mm]
b) [mm] \summe_{n}^{} (-1)^{n}\bruch{1}{2+cosh(n)}
[/mm]
Hinweis: Die Funktion cosh: [mm] \IR\to\IR [/mm] ist gegeben durch cosh(x) := [mm] \bruch{1}{2}(exp(x)+exp(-x)) [/mm] |
Also bei der a habe ich mir folgendes überlegt: Auf jedenfall Leibnizkriterium, wegen dem [mm] (-1)^n [/mm] vorne, was ja schon mal auf Alternierung hindeutet.
Allerdings alterniert das cos(n) hinten ja auch wieder (in einem anderen Intervall)! Wie habe ich das dann aufzufassen?
bei b weiß ich nicht weiter.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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zu der b):
ersetz doch einfach mal den cosh(n) durch das 1/2*(exp(n)+exp(-n)).
Wenn du nun n=0 einsetzt, wird cosh(0)=1, da ja exp(0)=1. D.h. der Bruch wird zu 1/3.
Setzt du nun etwas großes für n ein, dann sieht man ja, dass der Anteil von exp(n) überwiegt, während der Anteil von exp(-n) gegen Null geht, also vernachlässigt werden kann.
Daher würde ich sagen, dass deine Reihe aus b) gegen Null geht für große n. Bin mir aber nicht 100%ig sicher, Reihen ist schon ne Weile her! 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:08 Do 19.04.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo NewtonsLaw!
Damit hast Du aber lediglich nachgewiesen, dass die aufzusummierende Folge [mm] $\bruch{1}{2+\cosh(n)}$ [/mm] eine Nullfolge ist.
Für die Konvergenz der Reihe ist dies aber noch nicht ausreichend.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo MI5!
Bedenke, dass gilt: $-1 \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \cos(n) [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ +1$ .
Unter dem Aspekt solltest Du überprüfen, ob das notwendige Kriterium für Reihenkonvergenz bzw. die Voraussetzung für das Leibnizkriterium erfüllt ist mit:
[mm] $a_n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2+\cos(n)} [/mm] \ [mm] \text{ ist Nullfolge.}$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:12 Do 19.04.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo MI5!
Um das Leibniz-Kriterium anwenden zu können, musst Du zeigen, dass [mm] $a_n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2+\cosh(n)}$ [/mm] eine monoton fallende Nullfolge ist.
Die Eigenschaft der Nullfolge wurde oben ja bereits angedeutet.
Für die Monotonie musst Du also noch zeigen:
[mm] $a_{n+1} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] a_n$ $\gdw$ $\bruch{1}{2+\cosh(n+1)} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \bruch{1}{2+\cosh(n)}$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo MI5!
Für Aufgabe b.) würde ich auch eher mit einer Abschätzung Richtung Majorantenkriterium gehen.
Für $n \ [mm] \ge [/mm] \ 3$ gilt ja z.B. [mm] $\cosh(n) [/mm] \ > \ [mm] n^2$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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