Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe diese Aufgabe bereits im Forum stehen, aber wegen der hohen Server-Last kann ich sie nicht dort anposten.
Folgende Aufgabe versuche ich zu lösen:
Untersuchung der Konvergenz von:
[mm] \summe_{n=1}^{ \infty}(3+(-1)^{n})^{-n}
[/mm]
Folgendes habe ich nun gemacht:
[mm] \summe_{n=1}^{ \infty}(3+(-1)^{n})^{-n}
[/mm]
[mm] =\summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{1}{(3+(-1)^{n})^{n}}
[/mm]
Diese Summe habe ich dann nach geraden und ungeraden n aufgeteilt, bei den Indizes bin ich mir gar nicht sicher:
[mm] \summe_{n=1}^{ \infty}\bruch{1}{(3+(-1)^{n})^{n}}
[/mm]
[mm] =\summe_{n=2n-1}^{ \infty} \bruch{1}{2^{n}}+\summe_{n=2n}^{ \infty} \bruch{1}{4^{n}}
[/mm]
Ich kann ab hier das Majoranten-Kriterium anwenden:
Wenn [mm] \summe_{n=2n-1}^{ \infty} \bruch{1}{2^{n}}, [/mm] dann auch
[mm] \summe_{n=2n}^{ \infty} \bruch{1}{4^{n}}. [/mm]
ich komme leider nicht weiter...
Das bedeutet, ich brauche eure Hilfe bitteeee.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:14 Mi 07.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo hab-ne-frage!
Deine Ansätze und Ideen sind schon ganz gut. Setze für die geraden $n_$ doch einfach $n \ =\ 2k$ und für die ungeraden $n \ =\ 2k-1$ ein.
Damit wird dann:
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{\left(3+(-1)^{n}\right)^{n}}$
[/mm]
$= \ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{\left(3+(-1)^{2k}\right)^{2k}} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{\left(3+(-1)^{2k-1}\right)^{2k-1}}$
[/mm]
$= \ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{4^{2k}} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{2^{2k-1}}$
[/mm]
$= \ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{4^{2k}} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \left(\bruch{1}{2^{2k}}*\bruch{1}{2^{-1}}\right)$
[/mm]
$= \ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{16^k} [/mm] + [mm] 2*\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{4^k}$
[/mm]
Und nun kannst Du die jeweiligen Konvergenzen schnell per Quotientenkriterium oder Wurzelkriterium zeigen.
Die entsprechenden Reihenwerte (also die Grenzwerte) sind mittels der geometrischen Reihen ebenfalls schnell zu bestimmen.
Gruß
Loddar
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Danke für eure Antworten.
Ich habe nun folgendes getan und will wissen, ob das so richtig ist:
[mm] \summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{1}{16^{n}}+2 \summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{1}{4^{n}}
[/mm]
Nach Majoranten-Kriterium reicht es zu zeigen, dass dass
[mm] \summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{1}{4^{n}} [/mm] konvergiert.
Verwende das Wurzel-Kriterium
[mm] \wurzel[n]{|a_{n}|}=\wurzel[n]{| \bruch{1}{4}^{n}|}= |(\bruch{1}{4^{n}})^{ \bruch{1}{n}}|=|(4^{n})^{ \bruch{1}{n}}|= |\bruch{1}{4}|
[/mm]
Wähle also p= [mm] \bruch{1}{2}, [/mm] so das gilt:
[mm] \summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{1}{4^{n}} [/mm] <p<1
Ich würde mich freuen, wenn sich das jemand anschauen würde.
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:39 Mi 07.12.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Diese Summe habe ich dann nach geraden und ungeraden n
> aufgeteilt, bei den Indizes bin ich mir gar nicht sicher:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{ \infty}\bruch{1}{(3+(-1)^{n})^{n}}[/mm]
>
> [mm]=\summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{1}{2^{2n-1}}+\summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{1}{4^{2n}}=2*\summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{1}{2^{2n}}+\summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{1}{16^{n}}[/mm]
So und mit [mm] 2^{2n}=4^{n} [/mm] hast du jetzt geom. Reihen, die du sogar summieren kannst! oder auch vorher alle durch [mm] \summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{1}{2^{n}} [/mm] majorisieren.
Wenn du Ausdrücke wie [mm] \summe_{n=2n-1}^{ \infty} [/mm] schreibst, musst du doch irgendwa denken, wie man n=2n-1 machen soll, und dann weiter?
Wenn du mit Summen noch nicht so gut umgehen kannst, schreib immer die 2bis 3 ersten mal auf, und überleg, ob das mit deiner Schreibweise so richtig ist!
Gruss leduart
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