Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:04 Di 29.11.2005 | | Autor: | Franzie |
Hallöchen alle zusammen!
Hab mal ne Frage bezüglich Konvergenz von folgenden Reihen:
a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] ( [mm] \wurzel{n+1}- \wurzel{n})/(n^{3/4})
[/mm]
ich denke ja, diese Reihe ist konvergent, man müsste bestimmt das Majorantenkriterium anwenden, so etwa?
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] ( [mm] \wurzel{n+1}- \wurzel{n})/(n^{3/4}) \le \wurzel{n}/(\wurzel{n}*n^{1/4}*\wurzel{n^{4}}) \le 1/n^{2}
[/mm]
b) [mm] \summe_{n=2}^{\infty} [/mm] 1/(ln n) ^{ln n}) ist meiner Meinung nach auch konvergent, aber wie kann ich das zeigen?
liebe Grüße
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Hallo Franzie,
> Hallöchen alle zusammen!
> Hab mal ne Frage bezüglich Konvergenz von folgenden
> Reihen:
>
> a) [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm] ( [mm]\wurzel{n+1}- \wurzel{n})/(n^{3/4})[/mm]
>
> ich denke ja, diese Reihe ist konvergent, man müsste
> bestimmt das Majorantenkriterium anwenden, so etwa?
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm] ( [mm]\wurzel{n+1}- \wurzel{n})/(n^{3/4}) \le \wurzel{n}/(\wurzel{n}*n^{1/4}*\wurzel{n^{4}}) \le 1/n^{2}[/mm]
zu zeigen ist, daß die Summendifferenz immer kleiner wird.
Also:
[mm]
\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \sum\limits_{n = 1}^k {\frac{{\sqrt {n + 1} \; - \;\sqrt n }}
{{n^{{\raise0.7ex\hbox{$3$} \!\mathord{\left/
{\vphantom {3 4}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}
\!\lower0.7ex\hbox{$4$}}} }}} \; - \;\sum\limits_{n = 1}^{k - 1} {\frac{{\sqrt {n + 1} \; - \;\sqrt n }}
{{n^{{\raise0.7ex\hbox{$3$} \!\mathord{\left/
{\vphantom {3 4}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}
\!\lower0.7ex\hbox{$4$}}} }}} \; = \;\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\sqrt {n + 1} \; - \;\sqrt n }}
{{n^{{\raise0.7ex\hbox{$3$} \!\mathord{\left/
{\vphantom {3 4}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}
\!\lower0.7ex\hbox{$4$}}} }}[/mm]
[mm]
\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\sqrt {n + 1} \; - \;\sqrt n }}
{{n^{{\raise0.7ex\hbox{$3$} \!\mathord{\left/
{\vphantom {3 4}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}
\!\lower0.7ex\hbox{$4$}}} }}\; = \;\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{n\; + \;1\; - \;n}}
{{n^{{\raise0.7ex\hbox{$3$} \!\mathord{\left/
{\vphantom {3 4}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}
\!\lower0.7ex\hbox{$4$}}} \;\left( {\sqrt {n + 1} \; + \;\sqrt n } \right)}}\; = \;\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}
{{n^{{\raise0.7ex\hbox{$3$} \!\mathord{\left/
{\vphantom {3 4}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}
\!\lower0.7ex\hbox{$4$}}} \;\left( {\sqrt {n + 1} \; + \;\sqrt n } \right)}}\; = \;0
[/mm]
Folglich ist obige Reihe konvergent.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:42 Di 29.11.2005 | | Autor: | Franzie |
Klingt logisch. Aber welches Kriterium hast du denn dafür verwendet? Ich dachte, ich muss zeigen, dass es eine konvergente Majorante gibt, aber warum zeigst du, dass die Folge gegen 0 strebt?
liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:58 Di 29.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Franzie!
Hier hat MathePower benutzt, dass eine Folge konvergiert, wenn der Abstand der einzelnen Folgenglieder eine Nullfolge ist:
[mm] $\left< a_n \right> [/mm] \ [mm] \text{konvergent} [/mm] \ \ [mm] \gdw [/mm] \ \ \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left(a_n-a_{n-1}\right) [/mm] \ = \ 0$
Dafür hat MathePower unsere Reihe zerlegt uns als Folge betrachtet.
[mm] $s_k [/mm] \ := \ [mm] \summe_{n=1}^{k}\bruch{\wurzel{n+1}-\wurzel{n}}{n^{\bruch{3}{4}}}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:28 So 04.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Franzie!
Leider konnte Dir keiner hier mit Deinem Problem vollständig in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Gruß
Loddar
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