Konvergenz von Reihen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:16 Mo 14.11.2005 | | Autor: | Monschn |
Hallo beisammen,
mir stellt sich folgendes Problem:
Seien [mm] (a_{n})_n\in \IN [/mm] und [mm] (b_{n})_n\in [/mm] IN Folgen nicht-negativer reeller Zahlen, so dass die Reihen [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_{n}^{2} [/mm] und [mm] \summe_{n=0}^{\infty}b_{n}^{2} [/mm] konvergieren. Zeigen Sie, dass dann die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_{n}b_{n} [/mm] ebenfalls konvergiert.
Kann mir bitte jemand helfen, wie ich diesen Beweis anpacke?? Ich habe nämlich überhaupt keine Idee, wie ich auf die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_{n}b_{n} [/mm] komme. Und wie ich von der Folge [mm] a_{n} [/mm] auf die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_{n}^{2} [/mm] komme.
Vielen Dank für eure Hilfe,
Simone
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:49 Mo 14.11.2005 | | Autor: | choosy |
Hallo
> Seien [mm](a_{n})_n\in \IN[/mm] und [mm](b_{n})_n\in[/mm] IN Folgen
> nicht-negativer reeller Zahlen, so dass die Reihen
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_{n}^{2}[/mm] und
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}b_{n}^{2}[/mm] konvergieren. Zeigen Sie,
> dass dann die Reihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_{n}b_{n}[/mm]
> ebenfalls konvergiert.
versuchs mal mit [mm] $a_nb_n\leq (max\{a_n,b_n\})^2\leq a_n^2+b_n^2$
[/mm]
dann weisst du für ale [mm] $k\in\IN$
[/mm]
[mm] $\summe_{n=0}^{k}a_{n}b_{n} \leq \summe_{n=0}^{k}a_{n}+\summe_{n=0}^{k}b_{n}$
[/mm]
nun brauchst du nur auf beiden seiten den grenzwert [mm] $k\rightarrow\infty$
[/mm]
zu bilden
|
|
|
|
