Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 1) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{n!}}{n^{n}} [/mm] mit x [mm] \in \IR. [/mm]
2) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n} [/mm]
mit [mm] a_{n} =\begin{cases} 2^{-n}, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ 3^{-n}, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases} [/mm] |
Okay super vielen Dank!!
Bei diesen zwei anderen komme ich leider auch nicht weiter..
Zu 1) Ich habe einen Ansatz mit dem Quotientenkriterium probiert:
[mm] |\bruch{x^{(n+1)!}}{(n+1)^{n+1}}* \bruch{n^{n}}{x^{n!}}| [/mm] = [mm] |\bruch{x^{n!}*x^{n+1}*n^{n}}{(n+1)^{n}*(n+1)*x^{n!}}| [/mm] = [mm] |\bruch{n^{n+1}*n^{n}}{(n+1)^{n}*(n+1)}|
[/mm]
Allerdings komme ich hiermit nicht weiter. Man soll am Ende angeben für welche Werte von x die Reihe konvergiert und für welche sie divergiert.
Bei 2) fehlt mir zunächst einmal grundlegend das Wissen, wie man mit einer so definierten Reihe Konvergenz untersucht. Also ich weiß, was es bedeutet, allerdings kann ich noch nicht wirklich damit umgehen.
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:13 So 13.12.2015 | | Autor: | abakus |
Verwende bei 2) an Stelle der unterteilten Bildungsvorschrift den Term [mm] $2^{-n}$ [/mm] für ALLE n zur Bildung einer konvergenten Majorante.
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Aaah. Und wenn ich dann zeige dass [mm] b_{n}:= 2^{-n} [/mm] konvergiert, dann konvergiert auch die ursprungsreihe oder? super vielen Dank!
Weiß auch jemand bei der anderen weiter?:)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:23 Mo 14.12.2015 | | Autor: | fred97 |
> Aaah. Und wenn ich dann zeige dass [mm]b_{n}:= 2^{-n}[/mm]
> konvergiert,
Es geht um die konvergenz von [mm] \summe_{n=1}^{\infty}b_n [/mm] !!!
> dann konvergiert auch die ursprungsreihe oder?
Ja, die Ursprungsreihe konvergiert, wenn [mm] \summe_{n=1}^{\infty}b_n [/mm] konvergiert.
> super vielen Dank!
>
> Weiß auch jemand bei der anderen weiter?:)
bei Aufgabe 1 hast Du einen Fehler gemacht:
es ist [mm] x^{(n+1)!} \ne x^{n!} x^{n+1}
[/mm]
aber [mm] x^{(n+1)!}=( x^{n!})^{n+1}
[/mm]
FRED
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> Zu 1) Ich habe einen Ansatz mit dem Quotientenkriterium
> probiert:
> [mm]|\bruch{x^{(n+1)!}}{(n+1)^{n+1}}* \bruch{n^{n}}{x^{n!}}|[/mm] =
> [mm]|\bruch{x^{n!}*x^{n+1}*n^{n}}{(n+1)^{n}*(n+1)*x^{n!}}|[/mm] =
> [mm]|\bruch{n^{n+1}*n^{n}}{(n+1)^{n}*(n+1)}|[/mm]
> Allerdings komme ich hiermit nicht weiter. Man soll am
> Ende angeben für welche Werte von x die Reihe konvergiert
> und für welche sie divergiert.
>
Hallo,
habe kein Papier zur Hand, habe deshalb meine Idee nicht probiert:
Wenn man bei 1) das Wurzekriterium anwendet, wird denke ich deutlich dass der Zähler schneller wächst als der Nenner. Die Reihe wäre somit divergent.
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Die 3) habe ich jetzt verstanden schon einmal vielen Dank für die Hilfe!:)
Zur 1) nochmal.
Den Fehler beim Quotientenkriterium habe ich verbessert, trotzdem komme ich mit diesem Ansatz nicht weiter.
Habe auch das Wurzelkriterium versucht nun:
Ursprüngliche Reihe ist gleich:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{x^{(n-1)!}}{n})^{n}
[/mm]
Dann das Wurzelkriterium :
[mm] \wurzel[k]{|c_{k}|} [/mm] = [mm] \wurzel[k]{(|\bruch{x^{(k-1)!}}{k}|)^{k}} [/mm] = [mm] |\bruch{x^{(k-1)!}}{k}|
[/mm]
Die Aufgabenstellung besagt ja, dass man sagen soll für welche Werte von x die Reihe divergiert und für welche konvergiert.
Jetzt am Ende wirkt es so, dass die Reihe immer divergiert, weil der Zähler deutlich größer wird, außer wenn x=0,1 oder -1.
Gibt es noch mehr Werte wo die Reihe konvergiert?
Und wie kann ich das beweisen? Das ist ja momentan eher ein rein logischer Beweis zum Ende hin..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:33 Mo 14.12.2015 | | Autor: | fred97 |
Für |x| [mm] \le [/mm] 1 gilt $ [mm] \wurzel[k]{|c_{k}|} \to [/mm] 0 $
Für |x|> 1 gilt $ [mm] \wurzel[k]{|c_{k}|} \to \infty [/mm] $
FRED
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Meint ihr ich muss die Aussage, für welche x die Aussage konvergiert und für welche divergiert nochmal ordentlich beweisen oder reicht es das aus dem letzten Schluss mit dem Wurzelkriterium zu folgern?
Aber vielen Dank an alle, die geholfen haben!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Mi 30.12.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Zu 1)
In der Reihe kommt ja kein x vor. Ist die Aufgabenstellung vielleicht fehlerhaft?
Die Reihe, so wie sie da steht, divergiert. Das hast du jetzt gezeigt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:28 Mo 14.12.2015 | | Autor: | fred97 |
> Zu 1)
>
> In der Reihe kommt ja kein x vor.
Hä ??? Es war doch vorgelegt: $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{n!}}{n^{n}} [/mm] $
FRED
> Ist die Aufgabenstellung
> vielleicht fehlerhaft?
>
> Die Reihe, so wie sie da steht, divergiert. Das hast du
> jetzt gezeigt.
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Fred97 hat natürlich recht. Das X hab ich heute morgen in der Hektik aus den Augen verloren (außerdem hatte mir jemand was ins Frühstück  )
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