Konvergenz von Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:32 Di 24.06.2008 | | Autor: | MissRHCP |
| Aufgabe | Zeigen sie die Identität
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel[n]{n!}}{n}=\bruch{1}{e}
[/mm]
und die Konvergenz der Reihe
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{n!}{n^{n}}
[/mm]
Was können Sie über den Konvergenzradius der Potenzreihe
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{n!}{n^{n}}x^{n} [/mm] folgern? |
Ich weiß, dass wenn ich
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel[n]{n!}}{n}=\bruch{1}{e}
[/mm]
zeigen kann, mit dem Wurzelkriterium auch und die Konvergenz der Reihe
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{n!}{n^{n}} [/mm] zeigen kann.
Da ja dann
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|\bruch{n!}{n^{n}}|}=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{\wurzel[n]{n!}}{n}|=\bruch{1}{e}
[/mm]
und [mm] \bruch{1}{e}<1
[/mm]
Weiterhin wäre der Konvergenzradius von
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{n!}{n^{n}}x^{n}
[/mm]
dann ja auch [mm] R=\bruch{1}{\bruch{1}{e}}=e
[/mm]
Ich brauche bitte einen Tip, wie ich [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel[n]{n!}}{n}=\bruch{1}{e} [/mm] beweisen kann.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:28 Di 24.06.2008 | | Autor: | abakus |
> Zeigen sie die Identität
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> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel[n]{n!}}{n}=\bruch{1}{e}[/mm]
>
> und die Konvergenz der Reihe
>
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{n!}{n^{n}}[/mm]
>
> Was können Sie über den Konvergenzradius der Potenzreihe
>
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{n!}{n^{n}}x^{n}[/mm] folgern?
> Ich weiß, dass wenn ich
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel[n]{n!}}{n}=\bruch{1}{e}[/mm]
>
> zeigen kann, mit dem Wurzelkriterium auch und die
> Konvergenz der Reihe
>
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{n!}{n^{n}}[/mm] zeigen kann.
>
> Da ja dann
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|\bruch{n!}{n^{n}}|}=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{\wurzel[n]{n!}}{n}|=\bruch{1}{e}[/mm]
>
> und [mm]\bruch{1}{e}<1[/mm]
>
> Weiterhin wäre der Konvergenzradius von
>
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{n!}{n^{n}}x^{n}[/mm]
>
> dann ja auch [mm]R=\bruch{1}{\bruch{1}{e}}=e[/mm]
>
> Ich brauche bitte einen Tip, wie ich
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel[n]{n!}}{n}=\bruch{1}{e}[/mm]
> beweisen kann.
Hallo,
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel[n]{n!}}{n}=\bruch{1}{e}[/mm] ist äquivalent zu
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n}{\wurzel[n]{n!}}=e[/mm] bzw [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}{\wurzel[n]{\bruch{n^n}{n!}}=e[/mm]
Vielleicht kommst du damit weiter?
Gruß Abakus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:53 Di 24.06.2008 | | Autor: | MissRHCP |
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n}{\wurzel[n]{n!}}=\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^{n}=e
[/mm]
hilft mir nicht wirklich weiter. Ich habe versucht, das alles irgendwie günstig umzustellen, aber ich glaube mir fehlt DER Kniff!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:50 Di 24.06.2008 | | Autor: | Somebody |
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> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n}{\wurzel[n]{n!}}=\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^{n}=e[/mm]
>
> hilft mir nicht wirklich weiter. Ich habe versucht, das
> alles irgendwie günstig umzustellen, aber ich glaube mir
> fehlt DER Kniff!
Wie wärs mit der ![[]](/images/popup.gif) Stirling-Formel [mm] $n!\approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$? [/mm] - Könnte ja sein, dass ihr die benutzen dürft...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:30 Di 24.06.2008 | | Autor: | MissRHCP |
die dürfen wir nicht benutzen:
hat noch jeman eine idee...bitte!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:59 Di 24.06.2008 | | Autor: | MissRHCP |
kennt jemand einen anderen weg?
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> kennt jemand einen anderen weg?
Die zu beweisende Behauptung ist äquivalent mit [mm] $\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}\cdot [/mm] e=1$, bzw. wenn man $e$ und $n$ in die Wurzel hinein zieht, zu [mm] $\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{\frac{n!e^n}{n^n}}=1$.
[/mm]
Betrachte nun die [mm] $a_n [/mm] := [mm] \frac{n!e^n}{n^n}$. [/mm] Es gilt:
[mm]\frac{a_{n+1}}{a_n}=\cdots = \frac{e}{\big(1+\frac{1}{n}\big)^n}[/mm]
also
[mm]a_{n+1}=\frac{e}{\big(1+\frac{1}{n}\big)^n}\cdot a_n[/mm]
Wegen [mm] $\lim_{n\rightarrow \infty}\big(1+\frac{1}{n}\big)^n=e$ [/mm] und [mm] $\big(1+\frac{1}{n}\big)\leq [/mm] e$ gibt es somit zu jedem noch so kleinen [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ein [mm] $n_0$ [/mm] so dass für alle [mm] $n\geq n_0$ [/mm] gilt:
[mm]a_n \leq a_{n+1}\leq (1+\varepsilon)a_n[/mm]
Somit ist auch
[mm]a_{n_0}\leq a_n\leq (1+\varepsilon)^{n-n_0}a_{n_0}[/mm]
Mit dieser Information kann man zeigen, dass gilt:
[mm]\red{1}=\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{a_{n_0}}\red{\leq} \red{\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{a_n}}\red{\leq} \lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{(1+\varepsilon)^{n-n_0}\cdot a_{n_0}}=\red{1+\varepsilon}[/mm]
Da [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] beliebig war, folgt die Behauptung.
Nachtrag (2. Revision): Dass [mm] $\big(1+\frac{1}{n}\big)\leq [/mm] e$ gilt, braucht man eigentlich gar nicht zu wissen, denn aus [mm] $\lim_{n\rightarrow \infty}\big(1+\frac{1}{n}\big)^n=e [/mm] $ folgt schon, für alle [mm] $n\geq n_0(\varepsilon)$, [/mm]
[mm](1-\varepsilon)a_n \leq a_{n+1}\leq (1+\varepsilon)a_n [/mm]
woraus wiederum folgt
[mm] 1-\varepsilon\leq \sqrt[n]{a_n}\leq 1+\varepsilon[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:39 Mi 25.06.2008 | | Autor: | MissRHCP |
wir sollen die Sandwich-Regel nutzen...kann mir jemand zwei Folgen nennen mit denen ich [mm] \bruch{\wurzel[n]{n!}}{n}=\bruch{1}{e} [/mm] zeigen kann?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:03 Mi 25.06.2008 | | Autor: | Somebody |
> wir sollen die Sandwich-Regel nutzen...kann mir jemand zwei
> Folgen nennen mit denen ich
> [mm]\bruch{\wurzel[n]{n!}}{n}=\bruch{1}{e}[/mm] zeigen kann?
Du könntest zum Beispiel die in meiner letzten Antwort enthaltene Lösung etwas umarbeiten. Im Nachtrag dieser letzten Antwort habe ich ja die [mm] $a_n$ [/mm] in ein "Sandwich" genommen. Man kann aber auch so vorgehen: Betrachte die Folge [mm] $a_n [/mm] := [mm] \frac{n!}{n^n}$. [/mm] Es ist
[mm]\frac{a_{n+1}}{a_n}=\ldots=\frac{1}{\big(1+\frac{1}{n}\big)^n}[/mm]
Wegen [mm] $\lim_{n\rightarrow\infty} \big(1+\frac{1}{n}\big)^n=e$ [/mm] gibt es also für jedes [mm] $\varepsilon>0$ ($\varepsilon [/mm] <e$) ein [mm] $n_0$, [/mm] so dass für alle [mm] $n\geq n_0$ [/mm] gilt:
[mm]\frac{1}{e+\varepsilon}a_n \leq a_{n+1}\leq \frac{1}{e-\varepsilon}a_n[/mm]
und daher auch ("Sandwich"):
[mm]\frac{1}{(e+\varepsilon)^{n-n_0}} a_{n_0}\leq a_n \leq \frac{1}{(e-\varepsilon)^{n-n_0}}}a_{n_0}[/mm]
Durch beidseitiges Ziehen der $n$-ten Wurzel
[mm]\frac{1}{e+\varepsilon}\leftarrow \sqrt[n]{\frac{1}{(e+\varepsilon)^{n-n_0}} a_{n_0}} \leq \frac{\sqrt[n]{n!}}{n}\leq \sqrt[n]{\frac{1}{(e-\varepsilon)^{n-n_0}}a_{n_0}}}\rightarrow \frac{1}{e-\varepsilon}[/mm]
.. aber vermutlich ist dies noch immer nicht exakt das, was dem Herrn Professor so vorschwebt .. und was alle seine Stundenten gerne erraten möchten...
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