Konvergenz von Potenzreihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:28 Mi 08.06.2011 | | Autor: | fl0nk |
Hallöchen,
zu erst einmal:
Die Frage habe ich in keinem anderen Forum gestellt.
Da die Aufgabenstellung etwas länger ist, bzw. ich schon Teile gezeigt habe, lade ich einfach mal mein Übungsblatt hoch.
![[]](/images/popup.gif) Blatt
Es geht um Aufgabe 3c).
Die Teile a) und b) habe ich bereits gezeigt.
Bzw. in a), dass das Cauchy-Produkt aus a) die Reihe aus b) ergibt.
Weiterhin ist bekannt, dass wenn die Potenzreihe
Summe [mm] (a_n [/mm] * [mm] y^n) [/mm] konvergiert, auch die Potenzreihe Summe [mm] (a_n [/mm] * [mm] x^n)
[/mm]
konvergiert für x mit |x|<|y|.
Hat jemand einen Tipp oder Denkanstoß für mich, wie ich ansetzen kann?
Ich habe versucht den Teil a) zu verwenden, weiß aber nicht wie.
Wäre super :)
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:01 Do 09.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
die eine Reihe ist die ableitung der anderen.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:38 Do 09.06.2011 | | Autor: | fl0nk |
Vielen Dank für deine Antwort.
Jetzt wo du es sagst, seh ich es auch, aber ich denke nicht, dass wir das verwenden dürfen, da in der Vorlesung noch keine Differenzialrechnung behandelt wurde.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:01 Do 09.06.2011 | | Autor: | fred97 |
Sei [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_ny^n [/mm] konvergent. Nach dem Wurzelkriterium ist dann
lim sup [mm] \wurzel[n]{|a_n|}|y| \le [/mm] 1
Ist |x|<|y|, so folgt:
lim sup [mm] \wurzel[n]{n|a_n||x|^n}= [/mm] lim sup [mm] \wurzel[n]{n}\wurzel[n]{|a_n|}|x|= [/mm] lim sup [mm] \wurzel[n]{|a_n|}|x| [/mm] <1.
Mit dem Wurzelkriterium folgt: $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}na_nx^n [/mm] $ konv. absolut. Dann ist aber auch
$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1} [/mm] $
absolut konv.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:55 Do 09.06.2011 | | Autor: | fl0nk |
Vielen Dank für diese tolle Antwort :) .
Hätte aber noch zwei kleine Fragen dazu:
1) Warum darf man bei der ersten Reihe von der "einfachen" Konvergenz auf das Wurzelkriterium schließen? Gilt das nicht nur für absolut konvergente Reihen? Oder macht das <= das wett?
2) Ich gehe mal davon aus, dass du im letzten Schritt des Beweises von der Konvergenz der Reihe mt [mm] x^n [/mm] auf die Konvergenz der Reihe mit x^(n-1) mit Hilfe des Majoranenkriteriums schließt oder?
Dann noch eine Frage zum Aufgabenteil d) wenn jemand so nett wäre :)
Ich habe noch nie den Konvergenzradius berechnen müssen, wenn die in der Summe auftretenden Folgen unbekannt sind. Wie funktioniert das denn? Ein Tipp wäre schon super :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:45 Do 09.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank für diese tolle Antwort :) .
>
> Hätte aber noch zwei kleine Fragen dazu:
>
> 1) Warum darf man bei der ersten Reihe von der "einfachen"
> Konvergenz auf das Wurzelkriterium schließen? Gilt das
> nicht nur für absolut konvergente Reihen? Oder macht das
> <= das wett?
Stell Dir vor, Du hast eine Reihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}c_n
[/mm]
und es gelte lim sup [mm] \wurzel[n]{|c_n|}>1. [/mm] Dann sagt das Wurzelkrit.: die Reihe ist divergent.
Ist also [mm] \summe_{n=1}^{\infty}c_n [/mm] konvergent, so muß lim sup [mm] \wurzel[n]{|c_n|} \le [/mm] 1 sein.
>
> 2) Ich gehe mal davon aus, dass du im letzten Schritt des
> Beweises von der Konvergenz der Reihe mt [mm]x^n[/mm] auf die
> Konvergenz der Reihe mit x^(n-1) mit Hilfe des
> Majoranenkriteriums schließt oder?
Wir hatten: $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}na_nx^n [/mm] $ ist absolut konvergent.
Ist x=0 , so ist natürlich auch $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1} [/mm] $ absolut konvergent.
Ist x [mm] \ne [/mm] 0 , so ist
$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x}* \summe_{n=1}^{\infty}na_nx^n [/mm] $
ebenfalls absolut konvergent.
>
>
> Dann noch eine Frage zum Aufgabenteil d) wenn jemand so
> nett wäre :)
> Ich habe noch nie den Konvergenzradius berechnen müssen,
> wenn die in der Summe auftretenden Folgen unbekannt sind.
> Wie funktioniert das denn? Ein Tipp wäre schon super :)
Es ist wegen lim [mm] \wurzel[n]{n}=1:
[/mm]
lim sup [mm] \wurzel[n]{n*|a_n|}= [/mm] lim sup [mm] \wurzel[n]{|a_n|}
[/mm]
FRED
|
|
|
|
