Konvergenz von Folgen < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:51 Di 22.01.2013 | | Autor: | petapahn |
Guten Abend,
ich hätte eine kurze Verständnisfrage.
Es ist ja bekannt, dass konvergente Folgen beschränkt sind.
Doch wenn ich mir die Folge [mm] a_{n}= \bruch{sinx}{x^{2}} [/mm] abschaue geht die für x-->0 gegen unendlich ist also nicht beschränkt. Trotzdem ist sie doch aber eine Nullfolge.
Wo liegt mein Denkfehler?
Danke
petapahn
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:58 Di 22.01.2013 | | Autor: | chrisno |
Erkläre mal, wieso Du der Meinung bist, dass es eine Nullfolge ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 Di 22.01.2013 | | Autor: | petapahn |
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{sinx}{x^{2}} [/mm] = 0, da sinx [mm] \in [/mm] [-1;1] und [mm] \bruch{1}{x^{2}} [/mm] = 0 für x--> [mm] \infty [/mm]
Nach den Grenzwertsätzen wäre der GW somit 0.
btw Notation ist falsch...die x müsste natürlich alle n sein, wenn die Folge [mm] a_{n} [/mm] heißt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:15 Di 22.01.2013 | | Autor: | abakus |
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{sinx}{x^{2}}[/mm] = 0, da
> sinx [mm]\in[/mm] [-1;1] und [mm]\bruch{1}{x^{2}}[/mm] = 0 für x--> [mm]\infty[/mm]
Hallo?
In deinem ersten Beirag sollte x noch gegen [mm]\red{Null}[/mm] gehen.
Gruß Abakus
> Nach den Grenzwertsätzen wäre der GW somit 0.
>
> btw Notation ist falsch...die x müsste natürlich alle n
> sein, wenn die Folge [mm]a_{n}[/mm] heißt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 Di 22.01.2013 | | Autor: | petapahn |
OK jetzt glaub ich, bin ich selbst draufgekommen. Die FOlge ist sehr wohl beschränkt, da sie ja nur für n [mm] \in \IN [/mm] definiert ist. Dadurch ist sie beschränkt und der Limes gegen 0 spielt überhaupt keine Rolle. Lieg ich jetzt richtig.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:23 Di 22.01.2013 | | Autor: | chrisno |
Du musst erst mal das Notationschaos aufräumen. Was hat das n mit dem x zu tun?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 Di 22.01.2013 | | Autor: | petapahn |
Es handelt sich um eine Folge, keine Funktion. Also ist sie nur für natürliche Zahlen definiert. [mm] a_{n})_{n \in I\N}= \bruch{sin n}{n^2} [/mm] ist eine Nullfolge und ist auch beschränkt (da das n nur natürliche Zahlen annehmen kann). Mein Fehler war also, dass ich die Funktion betrachtet habe, die ja bei x=0 gegen [mm] \infty [/mm] geht. Somit wäre diese ja nicht beschränkt. DOch da die Folge ja NUR natürliche Zahlen betrachtet, ist das vollkommen uninteressant und sie ist somit beschränkt.
Es dürfte also keine Folgen für n [mm] \in \IZ [/mm] geben, für welche gilt: Konvergente Folgen sind beschränkt.
Stimmt das?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:58 Di 22.01.2013 | | Autor: | chrisno |
Nun ist das x weg und die Lage klar. So hast Du eine Nullfolge. Wenn Du $n [mm] \in \IZ$ [/mm] betrachten willst, dann definiere erst einmal, was dann eine Folge sein soll.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:53 Di 22.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es handelt sich um eine Folge, keine Funktion. Also ist sie
> nur für natürliche Zahlen definiert. [mm]a_{n})_{n \in I\N}= \bruch{sin n}{n^2}[/mm]
> ist eine Nullfolge und ist auch beschränkt (da das n nur
> natürliche Zahlen annehmen kann). Mein Fehler war also,
> dass ich die Funktion betrachtet habe, die ja bei x=0 gegen
> [mm]\infty[/mm] geht.
das ist doch Unsinn: Für die Funktion $f [mm] \colon \IR \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x):=\sin(x)/x^2$ [/mm] ($x [mm] \not=0$) [/mm] und
[mm] $f(0):=\text{was auch immer für eine Zahl }\in \IR$ [/mm] gilt
[mm] $$\lim_{x \to 0}f(x)=\lim_{0 \not=x \to 0}f(x)$$
[/mm]
existiert nicht - vielmehr ist (der rechtsseitge GW an der Stelle 0)
[mm] $$\lim_{0 < x \to 0}f(x)=\infty$$
[/mm]
und (der linksseitge GW an der Stelle 0)
[mm] $$\lim_{0 > x \to 0}f(x)=\;\red{-}\;\infty$$
[/mm]
SPEZIELL kannst Du das mal austesten für [mm] $x_n:=1/n$ [/mm] bzw. [mm] $x_n:=\;-\;1/n\,.$
[/mm]
(Wenn für ALLE Folgen [mm] $(a_n)_n$ [/mm] mit $0 < [mm] a_n \to [/mm] 0$ auch [mm] $f(a_n)=+\infty$
[/mm]
gilt, dann auch für diese spezielle Folge [mm] ${(1/n)}_{n \in \IN}\,.$)
[/mm]
Und wenn Du dies tust, dann siehst Du doch, dass $0 < [mm] x_n=1/n \to 0\,,$ [/mm] und
dann ist
[mm] $$f(x_n)=f(1/n)=\sin(x_n)/x_n^2=\sin(1/n)/(1/n^2)=n^2*\sin(1/n^2)\,.$$
[/mm]
Was Du oben schreibst:
[mm] $$\sin(n)/n^2\,,$$
[/mm]
das ist doch einfach mit [mm] $b_n:=n$ [/mm] dann
[mm] $$f(b_n)=f(n)=\sin(n)/n^2\,.$$
[/mm]
Aber es gilt doch [mm] $b_n=n \to \infty$ [/mm] und damit sicher keineswegs [mm] $b_n=n \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty\,.$ [/mm]
Du wirfst hier irgendwie ständig:
[mm] $$\lim_{x \to \blue{\mathbf{\infty}}} \tfrac{\sin(x)}{x^2}=\red{0}$$
[/mm]
durcheinander mit
[mm] $$\lim_{0 < x \to \red{0}}\tfrac{\sin(x)}{x^2}=\blue{\mathbf{\infty}}\,.$$
[/mm]
> Somit wäre diese ja nicht beschränkt. DOch
> da die Folge ja NUR natürliche Zahlen betrachtet, ist das
> vollkommen uninteressant und sie ist somit beschränkt.
?
> Es dürfte also keine Folgen für n [mm]\in \IZ[/mm] geben,
Man könnte Folgen auf einer Indexmenge der Art [mm] $\IZ_{\ge z_0}:=\{z \in \IZ:\;\;z \ge z_0\}$ [/mm] mit o.E. [mm] $z_0 \in \IZ$ [/mm] fest
definieren - aber was ist eine Folge mit Indexmenge [mm] $\IZ$? [/mm] Und zudem:
Wann soll denn eine solche auch konvergent heißen?
> für
> welche gilt: Konvergente Folgen sind beschränkt.
> Stimmt das?
Das macht keinen Sinn. Was ist die Frage nun dahinter? Der Beweis, dass
konvergente Folgen beschränkt sind, benutzt in der Tat auch, dass für eine
Folge [mm] $(a_i)_{i \in I}$ [/mm] die Indexmenge [mm] $I\,$ [/mm] abzählbar ist UND ein
Minimum hat. (Man könnte auch mit einem Maximum arbeiten, aber da
"dreht" man nur an Kleinigkeiten - anstatt aufwärts würde man [mm] $I\,$ [/mm] wohl
abwärts durchlaufen etc. pp.). Hätte man das nicht, so wäre i.a. keine
Beschränktheit zu erwarten. Dazu könnte man einfach [mm] $a_z:=(-1)^{z+1}*z$ [/mm] für $z [mm] \le [/mm] 0$
und [mm] $a_z:=1/z$ [/mm] für $z=n [mm] \in \IN$ [/mm] definieren - wobei "die Konvergenz dann
aber auch 'nur' für $z [mm] \to \infty$" [/mm] gemeint wäre. Denn vielleicht würde
man ja hier auch nur von Konvergenz reden wollen, wenn es [mm] $a_1$ [/mm] und
[mm] $a_2$ [/mm] so gibt, dass [mm] $a_z \to a_1$ [/mm] bei $z [mm] \to \infty$ [/mm] und [mm] $a_z \to a_2$ [/mm] bei $z [mm] \to \;-\;\infty$ [/mm] gelten würde
(ich hoffe, dass da auch so klar genug ist, was ich meine, auch, wenn ich
es nicht formalisiert habe).
Also: Das ist schon alles "rein spekulativ", was "Folgen mit Indexmenge [mm] $\IZ$
[/mm]
betrifft". Bei dem andern bin ich mir aber sicher: Du wirfst da ständig die
beiden Grenzwerte durcheinander; das habe ich ja oben angesprochen!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:24 Di 22.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ... und [mm]\bruch{1}{x^{2}}[/mm] = 0 für x--> [mm]\infty[/mm]
das schreibst Du bitte auch als
[mm] $$\lim_{x \to \infty} \tfrac{1}{x^2}=0\,,$$
[/mm]
oder als
[mm] $$\tfrac{1}{x^2} \to [/mm] 0 [mm] \text{ bei }x \to \infty\,.$$
[/mm]
Und "unschön", aber auch noch akzeptabel wäre sowas wie
[mm] $$\tfrac{1}{\infty^2}=0\,,$$
[/mm]
wobei ich das doch eher kritisch angucken würde und mir denken würde:
"Okay, gemeint ist sowas wie [mm] $\lim_{x \to \infty} \tfrac{1}{x^2}=0\,.$"
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
