Konvergenz von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:11 Mo 21.01.2008 | | Autor: | laihla |
| Aufgabe | | Jede konvergente Folge ist beschränkt. |
Ich habe einen Beweis für diesen Satz gefunden. Ich schreibe ihn mal auf:
Sei [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=a. [/mm] Dann gibt es ein [mm] n_o [/mm] e N,, so dass
[mm] Ia_n-aI<1 [/mm] ist für alle [mm] n\gen_o.
[/mm]
[mm] Ia_nI=Ia_n-a+aI\leIa_n-aI+IaI\leIaI+I1I [/mm] für alle [mm] n\gen_o.
[/mm]
Soweit ist mir der Beweis klar und einleuchtend.
hab ich somint nicht schon bewiesen, dass IaI+I1I eine Schranke ist?
Warum also noch
M:= max(Ia_0I, Ia_1I,...Ia_no-1I, IaI+a)?
und dann gilt [mm] Ia_nI\leM.
[/mm]
Hoffe ihr könnt mit weiterhelfen.
Danke, laihla
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Hallo laihla,
puh, das ist ja ganz furchtbar zu lesen !!
Verwende doch für Beträge bitte die Betragstriche und kein "I"
Den kriegst du hin mit "AltGr"+"<>"-Taste
Und benutze die Vorschaufunktion, um dir dein Machwerk anzusehen und ggfs. zu "verschönern"
Nun aber zur Frage 
Man fordert ein [mm] $M:=max\{|a_1|, |a_2|, ..., |a_{n_0}|, \red{|a|+1}\}$,
[/mm]
(Hier hattest du einen Tippfehler)
denn:
Stelle dir mal vor, die Folge hätte lauter positive Glieder und wäre monoton fallend, dann sind doch die ersten Folgenglieder [mm] $a_1, a_2,..., a_{n_0-1}$ [/mm] allesamt größer als dein [mm] $a_{n_0}$, [/mm] ab dessen Index die Abschätzung in dem Beweis gilt. (die gilt ja für alle [mm] $n>n_0$)
[/mm]
Also muss man die (endlich vielen) Anfangsglieder bis zu [mm] $a_{n_0-1}$ [/mm] auch mit berücksichtigen.
Genauso bei einer alternierenden konvergenten Folge ...
LG
schachuzipus
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