Konvergenz von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:25 Mi 05.12.2007 | | Autor: | Maxim |
| Aufgabe | 1. Aufgabe:
Untersuche, ob die Folge konvergent ist und berechne gegebenenfalls den Grenzwert.
[mm] a_n:= \vektor{2n \\ n}
[/mm]
2. Aufgabe
Seien [mm] a,b\in\IR [/mm] und [mm] {a_n},{b_n} [/mm] Folgen in [mm] \IR. [/mm] Beweise:
[mm] a_n\to0 [/mm] , [mm] {b_n} [/mm] beschränkt [mm] \Rightarrow a_n *b_n \to [/mm] 0. |
Hallo, ich hoffe Ihr könnt mir weiter helfen.
Das sind die einzigsten Aufgaben, wo ich nicht weiter weiß bzw. ich mir nicht sicher über die Korrektheit der Lösung
Ich habe folgende Ansätze:
zu 1.) [mm] a_n:=\vektor{2n \\ n} [/mm] = [mm] \vektor{2n \\ n} \bruch{2n!}{n!*(2n-n)!} [/mm] , da [mm] \vektor{n \\ k}\bruch{n!}{k!*(n-k)!} [/mm] ist.
[mm] =\bruch{2n!}{(n!)²}
[/mm]
nun meine Frage: kann ich das, so wie sonst auch machen
[mm] =\bruch{n²*(2!/n)}{n²*(1!)}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}=\bruch{0}{1} [/mm] = divergent ?
Oder gibt es da eine bestimmte Formel?
zu2.) Hier habe ich schon mal einen Beweis gemacht, weiß aber nicht ob es als Beweis reicht, da Sie bei uns sehr kritisch mit Beweisen sind!
[mm] a_n \to [/mm] 0, [mm] {b_n} [/mm] beschränkt [mm] \Rightarrow a_n*b_n \to [/mm] 0
Vor.: [mm] a_n \to [/mm] 0 [mm] (a_n [/mm] sei Nullfolge)
[mm] {b_n} [/mm] beschränkt (bedeutet, b_min [mm] \le b_n \le [/mm] b_max
[mm] \Rightarrow a_n [/mm] b_min [mm] \le a_n b_n \le a_n [/mm] b_max für [mm] n\to\infty [/mm] )
Beh.: [mm] (a_n b_n) \to [/mm] 0 [mm] (a_n [/mm] * [mm] b_n [/mm] sei Nullfolge)
Beweis: b_min [mm] \le b_n \le [/mm] b_max
[mm] \Rightarrow a_n [/mm] b_min [mm] \le a_n b_n \le a_n [/mm] b_max
b_min [mm] a_n \to [/mm] 0
b_max [mm] a_n \to [/mm] 0
[mm] a_n [/mm] * [mm] b_n \to [/mm] 0 [mm] \to [/mm] Sandwitch-Satz
Wäre über eine Antwort sehr erfreut!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> 1. Aufgabe:
> Untersuche, ob die Folge konvergent ist und berechne
> gegebenenfalls den Grenzwert.
>
> [mm]a_n:= \vektor{2n \\ n}[/mm]
>
>
> Ich habe folgende Ansätze:
>
> zu 1.) [mm]a_n:=\vektor{2n \\ n}[/mm] = [mm]\vektor{2n \\ n} \bruch{2n!}{n!*(2n-n)!}[/mm]
> , da [mm]\vektor{n \\ k}\bruch{n!}{k!*(n-k)!}[/mm] ist.
>
> [mm]=\bruch{2n!}{(n!)²}[/mm]
Hallo,
Du mußt immer (2n)! schreiben, sicher meinst Du das auch.
Nun überlege Dir, was das bedeutet:
[mm] \bruch{(2n)!}{(n!)²}=\bruch{n!*(n+1)(n+2)*...*(n+(n-1))(n+n)}{(n!)²}= [/mm] ...,
nun mach weiter.
> nun meine Frage: kann ich das, so wie sonst auch machen
>
> [mm]=\bruch{n²*(2!/n)}{n²*(1!)}[/mm]
Ich ahne nebulös, was Du getan hast. Daß das nicht geht, sollte Dir klarwerden, wenn Du die Fakultäten ausschreibst.
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}=\bruch{0}{1}[/mm] = divergent ?
Hier hätte man doch nicht Divergenz, sondern Konvergenz gegen 0.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:00 Mi 05.12.2007 | | Autor: | Maxim |
Hallo,
ich danke erst einmal für die schnelle Bearbeitung von meiner Aufgabe, sicherlich hast Du gemerkt, dass ich die Aufgabe nochmal unter Analysis gestellt habe. Ich hatte den falschen Pfad ausgewählt, hoffe das ist nicht so schlimm.
Ich dachte mir schon, dass das nicht so funktionieren kann, wie ich es gemacht habe, wäre etwas einfach.
Der Tipp mit den Fakultäten aufschreiben, hilft mir jetzt natürlich weiter.
Werde meine Aufgabe nochmal neu berechnen und wenn ich fragen habe, hoffe ich das ich dich da nochmal fragen kann?!
LG Maxim
|
|
|
| |
|
>
> Werde meine Aufgabe nochmal neu berechnen und wenn ich
> fragen habe, hoffe ich das ich dich da nochmal fragen
> kann?!
Hallo,
wenn zwischen den Nachfragen eigene Aktivitäten mathematischer Natur liegen, darfst Du tausendmal nachfragen!
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
> 2. Aufgabe
> Seien [mm]a,b\in\IR[/mm] und [mm]{a_n},{b_n}[/mm] Folgen in [mm]\IR.[/mm] Beweise:
>
> [mm]a_n\to0[/mm] , [mm]{b_n}[/mm] beschränkt [mm]\Rightarrow a_n *b_n \to[/mm] 0.
> Hallo, ich hoffe Ihr könnt mir weiter helfen.
> zu2.) Hier habe ich schon mal einen Beweis gemacht, weiß
> aber nicht ob es als Beweis reicht, da Sie bei uns sehr
> kritisch mit Beweisen sind!
>
> [mm]a_n \to[/mm] 0, [mm]{b_n}[/mm] beschränkt [mm]\Rightarrow a_n*b_n \to[/mm] 0
>
> Vor.: [mm]a_n \to[/mm] 0 [mm](a_n[/mm] sei
> Nullfolge)
> [mm]{b_n}[/mm] beschränkt
> (bedeutet, b_min [mm]\le b_n \le[/mm] b_max
> [mm]\Rightarrow a_n[/mm]
> b_min [mm]\le a_n b_n \le a_n[/mm] b_max für [mm]n\to\infty[/mm] )
Hallo,
ganz so scheint es mir nicht zu funktionieren.
Es könnte ja z.B. [mm] b_{min}=-5 [/mm] sein, [mm] b_{max}=1 [/mm] und [mm] a_n:=(-1)^n\bruch{1}{n}, [/mm] und dann stimmt
[mm] a_n b_{min}\le a_n b_n \le a_nb_{max } [/mm] nicht.
Aber Du kannst das sicher retten, wenn Du über die Beträge nachdenkst - Deine Idee ist nicht übel.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:40 Mi 05.12.2007 | | Autor: | Maxim |
Ich danke dir nochmals für Deine Antwort.
Das wäre meine 2. Variante gewesen, das ich
[mm] (b_n) [/mm] beschränkt, d.h. für alle n: [mm] \left| b_n \right| \subseteq [/mm] M setze. Und
[mm] (a_n)Nullfolge: \forall \varepsilon [/mm] >0 [mm] \exists n_0 (\varepsilon) [/mm] und [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge n_0 (\varepsilon) [/mm] : [mm] \left| a_n -0 \right| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow \left| a_n b_n -0 \right| [/mm] = [mm] \left| a_n \right| \left| b_n \right| <\varepsilon [/mm] M , d.h.! [mm] \varepsilon [/mm] >0 beliebig!
[mm] (a_n b_n) [/mm] ist Nullfolge für alle n [mm] \ge n_0
[/mm]
LG Maxim
|
|
|
|
