Konvergenz von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:53 Fr 17.11.2006 | | Autor: | Leni-H |
| Aufgabe | Untersuchen Sie nachstehende Folgen auf Konvergenz:
a) [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{n}
[/mm]
b) [mm] a_{n} [/mm] = [mm] (x^{n} [/mm] + [mm] y^{n} [/mm] + [mm] z^{n})^{1/n} [/mm] für [mm] x,y,z\ge0
[/mm]
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Hallo!
Könntet Ihr mir eventuell einen Ansatz für diese Aufgaben geben? Wie kann ich hier auf Konvergenz untersuchen?
LG leni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:01 Sa 18.11.2006 | | Autor: | Leni-H |
Hi!
Hat niemand von euch einen Tipp?!
Wär echt super!
LG Leni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:29 Sa 18.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Leni
Grundsätzliches Vorgehen:1. suche Schranken hier etwa >1 <2
2. mach ein paar Versuche mit dem TR ob die Folge fällt oder steigt.
3. beweise dass sie monoton fällt oder steigt.
4. aus beschränkt und monoton folgt Konvergenz.
Für die 2. Aufgabe, stell dir immer x,y,z fest vor, da das symetrisch in den 3 ist, kannst du eines davon als größtes anehmen - etwa x und hast es dann mit [mm] 3*x^n [/mm] zu tun, und dann machst du weiter.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 Sa 18.11.2006 | | Autor: | Leni-H |
Hallo Leduard!
Vielen Dank! Wir hatten aber leider Monotonie noch nicht, sondern nur Konvergenz und Beschränktheit. Soll ich die Monotonie dann einfach weglassen?
Gruß Leni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:48 Sa 18.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wie habt ihr Konvergenz bisher gezeigt, wenn der GW nicht feststand?
hier kannst du im ersten Fall den GW 1 raten, und musst dann zum Beweis ein N angeben, so dass [mm] an-1<\varepsilon [/mm] ist.
Wenn du nur die Beschränktheit hast hast du noch keine Konvergenz! Beispiel: [mm] an=(-1)^n [/mm] ist durch [mm] -1\le an\le [/mm] 1 beschränkt, aber nicht konvergent.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:00 Sa 18.11.2006 | | Autor: | Leni-H |
Hi!
Ja, wir habens dann immer genauso gemacht, wie dus gesagt hast. Wir haben den GW erraten und dann dazu ein N angegeben, sodass |an-1|<E ist.
Aber ich weiß nicht genau, wie ich das N bei dieser Aufgabe angeben könnte, da es ja um eine Wurzel geht.
Also ich hab ja |an-1|=|n^(1/n)-1|.
Aber ich weiß nicht genau, wie ich dann weitermachen soll. Bringt es mir was, wenn ich sage, dass n^(1/n)-1 < n^(1/N)-1 ? Aber dann hab ich das N ja in der Hochzahl. Wie kann ich dann auf das E kommen?
LG Leni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:33 Sa 18.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Leni
weil die Wurzel >1 kannst du die Betragstriche weglassen, die 1 nach rechts bringen, alles hoch n und dann die Bernoulli Ungleichung benutzen um ein N zu bestimmen .
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:22 Sa 18.11.2006 | | Autor: | Leni-H |
Sorry, vielleicht bin ich irgendwie schwer von Begrif, aber ich verstehs nicht so ganz. Ich hab ja |an-1| =|a^(1/n)-1| = a^(1/n)-1
Aber ich hab ja gar keine Gleichung. Was meinst du dann mit "1 nach rechts bringen"?
LG Leni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 So 19.11.2006 | | Autor: | Leni-H |
Guten Morgen Leduart!
Sitz schon wieder an den beiden Aufgaben und komm einfach nicht weiter!
Hast du mir vielleicht nochmal einen Tipp?!
Wäre super!
Gruß Leni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 Sa 18.11.2006 | | Autor: | Leni-H |
Hallo Leduart!
Nochmal kurz eine Frage zu Aufgabe b:
Warum kann ich, wenn ich z.B. x als größte Variable annehme, [mm] 3+x^n [/mm] schreiben? Es muss ja nicht sein, dass y und z gleich x sind, sie können ja auch kleiner sein, oder?
LG Leni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:27 Sa 18.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Leni
du kannst natürlich nicht schreiben [mm] x^n+y^n+z^n=3*x^n [/mm] (übrigens * nicht plus) aber [mm] x^n+y^n+z^n \le 3*x^n [/mm] oder r=(max(x,y,z) und dann
[mm] x^n+y^n+z^n \le 3*r^n [/mm] . für den Konvergenzbeweis.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 Sa 18.11.2006 | | Autor: | Leni-H |
Also wenn ich dann jetzt z.B. annehm, dass x die größte Variable ist. Dann ist ja [mm] x^n+y^n+z^n [/mm] < [mm] 3+x^n.
[/mm]
Dann sagen wir mal der Grenzwert sei x.
Dann haben wir ja |an-a| = [mm] |(x^n+y^n+z^n)^{1/n}-x| [/mm] und dann nach obiger Voraussetzung < [mm] (3+x^n)^{1/n}-x.... [/mm] oder?
Und wie kann ich dann weitermachen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:17 So 19.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
nicht [mm] 3+x^n [/mm] sondern [mm] 3*x^n, [/mm] der GW ist dann anders und nur für x=y=z sonst ist er kleiner! probier mal für y=z=0!, oder y=r*x,z=s*x r,s<1
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:26 So 19.11.2006 | | Autor: | Leni-H |
Ich mein schon [mm] 3*x^n. [/mm] Ich vertipp mich nur andauernd 
Muss ich denn jetzt bei der Aufgabe mit der Definition des Grenzwerts arbeiten oder kann ich das auch anders zeigen, dass die Summe gegen max (x,y,z) geht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:00 So 19.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo leni
zur ersten:
[mm] (1+\wurzel{2/n})^n>1+n*\wurzel{2/n}+n*(n-1)/2*2/n=\wurzel{2n}+n>n
[/mm]
damit [mm] (1+\wurzel{2/n})^n>n>1
[/mm]
daraus [mm] (1+\wurzel{2/n})>\wurzel[n]{n}>1 [/mm] der Erst Ausdruck geht gegen 1, der 2. deshalb auch.
zur zweiten: Nenne Max(x,y,z)=m x=mr, y=sm,z=tm, [mm] r,s,t\le [/mm] 1
damit [mm] 0<(x^n+y^n+z^n)=m^n(r^n+s^n+t^n)
jetzt die nte Wurzel und [mm] \wurzel[n]{2} [/mm] gegen 1 für n gegen [mm] \infty.
[/mm]
Ob du das noch mit N und [mm] \varepsilon [/mm] musst kommt darauf an, was bei euch üblich ist.
Das sollte dann aber mit obigen Abschätzungen nicht schwer sein!
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 So 19.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo leni
zur ersten:
[mm] (1+\wurzel{2/n})^n>1+n*\wurzel{2/n}+n*(n-1)/2*2/n=\wurzel{2n}+n>n
[/mm]
damit [mm] (1+\wurzel{2/n})^n>n>1
[/mm]
daraus [mm] (1+\wurzel{2/n})>\wurzel[n]{n}>1 [/mm] der Erst Ausdruck geht gegen 1, der 2. deshalb auch.
zur zweiten: Nenne Max(x,y,z)=m x=mr, y=sm,z=tm, [mm] r,s,t\le [/mm] 1
damit [mm] 0<(x^n+y^n+z^n)=m^n(r^n+s^n+t^n)
jetzt die nte Wurzel und [mm] \wurzel[n]{3} [/mm] gegen 1 für n gegen [mm] \infty.
[/mm]
Ob du das noch mit N und [mm] \varepsilon [/mm] musst kommt darauf an, was bei euch üblich ist.
Das sollte dann aber mit obigen Abschätzungen nicht schwer sein!
Gruss leduart
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