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| Aufgabe | Sei die Folge [mm] (a_{n}) [/mm] mit [mm] a_{n}=\wurzel{2}+ \bruch{1}{n^2 +8} [/mm] gegeben.
a) Annahme: Die Folge konvergiert gegen a= [mm] \wurzel{2}. [/mm] Wenden Sie die Definition der Konvergenz an, um die verschiedenen [mm] \varepsilon [/mm] zu bestimmen.
1.) [mm] \varepsilon= [/mm] 1
2.) [mm] \varepsilon=\bruch{3}{4}
[/mm]
3.) [mm] \varepsilon=\bruch{1}{100}
[/mm]
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Also: ich habe die Formel für Konvergenz versucht umzuformen, aber irgendwie komm ich bei der Wuzel ins Stocken. Hätte jemand vielleicht einen Tipp für mich?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:13 Fr 10.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Sei die Folge [mm](a_{n})[/mm] mit [mm]a_{n}=\wurzel{2}+ \bruch{1}{n^2 +8}[/mm]
> gegeben.
> a) Annahme: Die Folge konvergiert gegen a= [mm]\wurzel{2}.[/mm]
> Wenden Sie die Definition der Konvergenz an, um die
> verschiedenen [mm]\varepsilon[/mm] zu bestimmen.
Muss das nicht heissen: gib zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] ein passendes N an?
> 1.) [mm]\varepsilon=[/mm] 1
> 2.) [mm]\varepsilon=\bruch{3}{4}[/mm]
> 3.) [mm]\varepsilon=\bruch{1}{100}[/mm]
>
>
> Also: ich habe die Formel für Konvergenz versucht
> umzuformen, aber irgendwie komm ich bei der Wuzel ins
> Stocken. Hätte jemand vielleicht einen Tipp für mich?
Wurzeln quadriert man!
Gruss leduart
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Hallo leduart,
ich hab mich wohl etwas blöde ausgedrückt. Hier mein Ansatz:
[mm] a_{n}=\wurzel{2}+ \bruch{1}{n^2 +8}
[/mm]
[mm] (a_{n}) [/mm] konvergiert gegen [mm] \wurzel{2}, [/mm] also:
[mm] a_{n}- \wurzel{2} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] nach Definition der Konvergenz
Dann einsetzen:
[mm] \wurzel{2}+ \bruch{1}{n^2 +8} [/mm] - [mm] \wurzel{2} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm]
Übrig bleibt:
[mm] \bruch{1}{n^2 +8} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm]
Wie rechne ich jetzt weiter?
Vielen Dank im Voraus.
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Wenn ich die Aufgabe richtig verstanden hab, musst du das n bestimmen, wann die Konvergenzaussage stimmt.
Du musst deine letzte Ungleichung so umformen, dass du n auf einer Seite stehen hast und wenn du dann deine [mm] $\varepsilon$ [/mm] Werte einsetzt kommst du auf das gesuchte n.
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Hallo,
genau, ich soll jedesmal das n bestimmen. Hab zum Beispiel bei [mm] \varepsilon= [/mm] 1 aber ne negative Zahl unter der Wurzel stehen, stimmts? Ich hab nämlich so umgeformt:
[mm] a_{n}- \wurzel{2}<\varepsilon
[/mm]
[mm] \wurzel{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{n^2 + 8}- \wurzel{2}<\varepsilon
[/mm]
n > [mm] \wurzel{\bruch{1}{\varepsilon} - 8}
[/mm]
Und da steckt mein Problem: wenn ich 1 oder [mm] \bruch{3}{4} [/mm] einsetze, dann gibts negative Zahlen unter der Wurzel.
Ich hoffe, dass mir einer helfen kann und sage schon mal vielen Dank.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:46 Sa 11.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Lachs!
Das N das man bestimmt muss ja nicht das kleinst mögliche sein. Das ist bei Konvergenz völlig überflüssig!
also schreibst du:
[mm] \bruch{1}{n^2 + 8}<\bruch{1}{n^2 }<\varepsilon
[/mm]
daraus [mm] n^2>1/\varepsilon
[/mm]
Denk dran Ungleichungen schätzt man ab und rechnet sie (fast ) nie aus!
Gruss leduart
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| Aufgabe | Sei [mm] (a_{n}) [/mm] eine Folge mit [mm] a_{n}= \wurzel{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{n^2 + 8}. [/mm] Annahme: Die Folge konvergiert gegen [mm] a=\wurzel{2}. [/mm]
Bestimmen Sie die zugehörigen N zu folgenden [mm] \varepsilon:
[/mm]
1. [mm] \varepsilon= [/mm] 1
2. [mm] \varepsilon=\bruch{3}{4}
[/mm]
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Hallo noch mal,
Wenn ich jetzt die Werte in die Ungleichung [mm] a_{n} [/mm] - [mm] \wurzel{2} <\varepsilon [/mm] einsetze und diese umforme erhalte ich
[mm] n^2 [/mm] > [mm] \bruch{1}{\varepsilon} [/mm] - 8
Wenn ich jetzt die Wurzel ziehe und z. B. [mm] \varepsilon= [/mm] 1 einsetze, dann erhalte ich ein negativen Wert unter der Wurzel. Was heißt das für mein n?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:14 Sa 11.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Sei [mm](a_{n})[/mm] eine Folge mit [mm]a_{n}= \wurzel{2}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{n^2 + 8}.[/mm] Annahme: Die Folge konvergiert gegen
> [mm]a=\wurzel{2}.[/mm]
> Bestimmen Sie die zugehörigen N zu folgenden [mm]\varepsilon:[/mm]
> 1. [mm]\varepsilon=[/mm] 1
> 2. [mm]\varepsilon=\bruch{3}{4}[/mm]
>
> Hallo noch mal,
>
> Wenn ich jetzt die Werte in die Ungleichung [mm]a_{n}[/mm] -
> [mm]\wurzel{2} <\varepsilon[/mm] einsetze und diese umforme erhalte
> ich
>
> [mm]n^2[/mm] > [mm]\bruch{1}{\varepsilon}[/mm] - 8
Bei dieser Umformung hast du benutzt: [mm] n^2+8>0 [/mm] sonst hätte sich das Ungleichheitszeichen umgedreht!
> Wenn ich jetzt die Wurzel ziehe und z. B. [mm]\varepsilon=[/mm] 1
> einsetze, dann erhalte ich ein negativen Wert unter der
> Wurzel. Was heißt das für mein n?
Ich hab dir doch gesagt, dass du nicht das ausgerechnete n wie in ner gleichung verwenden sollst oder manchmal auch nicht kannst. die Ungleichung mit
[mm] n^2[/mm] [/mm] > [mm]\bruch{1}{\varepsilon}[/mm] - 8 und [mm] \varepsilon=1 [/mm] wird durch n=1 erfüllt! für [mm] \varepsilon=3/4 [/mm] auch! für [mm] \varepsilon=1/100 [/mm] musst du n>10 nehmen für n=1/10000 ist n>100 richtig usw.
Nochmal: wenn [mm] n^2>irgendwas [/mm] ist, dann ist es auch größer als irgendwas -8 oder irgendwas [mm] -\pi [/mm] oder was du sonst abziehen willst!
Du hast es NICHTmit Gleichungen sondern mit UNGLEICHUNGEN ZU TUN!!
Gruss leduart.
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Besten Dank, ich habs jetzt auch kapiert. Danke für deine Geduld.
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