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Forum "Uni-Analysis" - Konvergenz von Folgen
Konvergenz von Folgen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Konvergenz von Folgen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:52 Di 15.11.2005
Autor: LenaFre

Hallo; folgende Aufgabe liegt mir vor:
Definiere [mm] a_{n}durch a_{0}=1 [/mm] und [mm] a_{n+1}:=1+\bruch{1}{a_{n}}. [/mm]
Es sei bekannt, dass [mm] g=\bruch{1+\wurzel{5}}{2} [/mm] die einzige positive Lösung der Gleichung [mm] g^{2}-g-1=0 [/mm] ist.
Zeigen sie, dass [mm] a_{n}\to [/mm] g konvergiert.

Ich tuhe mich noch ziemlich schwer mit der Konvergenz von Folgen und hoffe ihr könnt mir helfen. Ich weiß, dass ich mir erstmal [mm] a_{n} [/mm] definieren muss und dann zeigen muss, dass [mm] \parallel a_{n}-g \parallel<\varepsilon [/mm] ist. Aber an der Umsetzung fehlt es bei mir!
Vielen Dank und liebe Grüße an alle

        
Bezug
Konvergenz von Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:52 Di 15.11.2005
Autor: stevarino

Hallo

Also um die Konvergenz zu zeigen zeigt man am besten das die Folge monoton und beschränkt ist.

für den Grenzwert gilt:
  [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}=a [/mm]
Wenn du da deine Angabe einsetzt kommst du auf eine quadratische Gleichung. Dann bekommst die zwei Grenzwerte einmal [mm] \bruch{\wurzel{5}+1}{2} [/mm] und einmal [mm] \bruch{-\wurzel{5}+1}{2} [/mm] durch die monotonie kannst du dann entscheiden welcher der Richtige ist

ich hoffe das hilft dir weiter

Stevo

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