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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:18 Fr 29.01.2010 | | Autor: | xtraxtra |
| Aufgabe | | Zeige: [mm] a_n=\bruch{(n+1)^2-n^2}{2} \to [/mm] 2 |
[mm] |a_n-2|=|\bruch{n^2+2n+1-n^2}{n}|=|\bruch{2n+1}{n}|=\bruch{1}{n} \le \bruch{2}{n}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Wähle [mm] \varepsilon [/mm] >0 [mm] \exists n_0 \in \IN [/mm] : [mm] n_0 [/mm] > [mm] \bruch{2}{\varepsilon}
[/mm]
Dann gilt für alle [mm] n>n_0: |a_n [/mm] - 2| [mm] \le \bruch{2}{n} \le \bruch{2}{n_0} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Wäre gut, wenn mir jmd sagen könnte ob ich das so richtig gemacht habe?
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Hallo xtraxtra,
> Zeige: [mm]a_n=\bruch{(n+1)^2-n^2}{2} \to[/mm] 2
Das soll doch mit Sicherheit [mm] $a_n=\frac{(n+1)^2-n^2}{\red{n}}$ [/mm] heißen ...
>
> [mm]|a_n-2|=|\bruch{n^2+2n+1-n^2}{n}\red{-2}|=|\bruch{2n+1}{n}\red{-2}|[/mm]
Was ist mit der 2??
> [mm] =\bruch{1}{n} [/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Hier stimmt's wieder - merkwürdig ist das schon ...
> [mm]\le\frac{2n}{ \le \bruch{2}{n}[/mm]
??
Es muss doch nach der letzten obigen richtigen Abschätzung nun [mm] $\frac{1}{n}<\varepsilon$ [/mm] sein, also [mm] $n>\frac{1}{\varepsilon}$
[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Wähle [mm]\varepsilon[/mm] >0 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Nein, [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] gibt man beliebig vor, die Aussage muss für alle [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] gelten!
> [mm]\exists n_0 \in \IN[/mm] : [mm]n_0[/mm]
> > [mm]\bruch{2}{\varepsilon}[/mm]
> Dann gilt für alle [mm]n>n_0: |a_n[/mm] - 2| [mm]\le \bruch{2}{n} \le \bruch{2}{n_0}[/mm]
> < [mm]\varepsilon[/mm]
> Wäre gut, wenn mir jmd sagen könnte ob ich das so
> richtig gemacht habe?
Ich verstehe das hier nicht.
Du hast oben in einer Nebenrechnung [mm] $|a_n-2|$ [/mm] abgeschätzt, um dein [mm] $n_0$, [/mm] das anzugeben ist, zu konstruieren.
Wir hatten [mm] $n>\frac{1}{\varepsilon}$ [/mm] (zu beliebig gegebenem [mm] $\varepsilon>0$
[/mm]
Wie kannst du also dein [mm] $n_0$ [/mm] wählen, so dass für alle [mm] $n>n_0$ [/mm] gilt: [mm] $|a_n-2|<\varepsilon$ [/mm] ?
Bringe mal Struktur in deine Gedanken und den Beweis.
Mit den Hinweisen müsstest du es hinbekommen
LG
schachuzipus
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