Konvergenz von Doppelsummen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:33 Di 27.11.2012 | | Autor: | petapahn |
| Aufgabe | Es sei [mm] a_{m}=\bruch{(-1)^{ij}}{(4i)^{j}}) \forall [/mm] m= (i;j) [mm] \in [/mm] M.
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}(\summe_{j=1}^{\infty} a_{m} [/mm] konvergiert. Beweise dies.
Warum ist [mm] (a_{m})_{m\in M} [/mm] nicht summierbar, wenn [mm] M=\IN^2? [/mm] |
Hallo Leute,
ich hab mal wieder ein Problem bei dieser Aufgabe.
die doppelsumme überfordert mich etwas. Man könnte vllt das Leibnizkriterium heranziehen um die Konvergenz zu beweisen?
Bitte um Hilfe.
Viele Grüße
petapahn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:03 Di 27.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
Hinweis: Wie von reverend festgestellt, war hier wohl der Wunsch
Vater des Gedanken, und ich habe einen Fehler gemacht. Entsprechend
ist die Antwort falsch und wird durchgestrichen!
> Es sei [mm]a_{m}=\bruch{(-1)^{ij}}{(4i)^{j}}) \forall[/mm] m= (i;j)
> [mm]\in[/mm] M.
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}(\summe_{j=1}^{\infty} a_{m}[/mm]
> konvergiert. Beweise dies.
> Warum ist [mm](a_{m})_{m\in M}[/mm] nicht summierbar, wenn
> [mm]M=\IN^2?[/mm]
> Hallo Leute,
> ich hab mal wieder ein Problem bei dieser Aufgabe.
> die doppelsumme überfordert mich etwas. Man könnte vllt
> das Leibnizkriterium heranziehen um die Konvergenz zu
> beweisen?
denk' nicht zu kompliziert, sondern erst mal "stückweise":
Was ist denn für jedes $i [mm] \in \IN$ [/mm] die Summe
[mm] $$\sum_{j=1}^\infty \bruch{(-1)^{ij}}{(4i)^{j}}=(-1)^i*\sum_{j=1}^\infty \Big(\frac{-1}{4i}\Big)^j$$
[/mm]
für eine Reihe?
Tipp: [mm] $$\sum_{k=\red{1}}^\infty q^k=\frac{q}{1-q}$$
[/mm]
für $|q| < [mm] 1\,.$ [/mm] Bei Dir ist halt $q=q(i)=...$?
Und dann geht's in der Tat so weiter, wie Du es angedeutet hast. Pass'
aber ein bisschen mit den Vorzeichen auf, denn die [mm] $q(i)/(1-q(i))\,$ [/mm] sind
hier ja nicht [mm] $\ge 0\,.$ [/mm] Entsprechend ist [mm] $(q(i)/(1-q(i)))_{i \in \IN}$ [/mm] sicher
keine monoton fallende Nullfolge:
Aber vielleicht reicht's Dir ja schon, wenn ich Dir sage, dass aber hier
[mm] $(-q(i)/(1-q(i)))_{i \in \IN}$ [/mm] eine solche ist... (Tipp: Mach'
"schlimmstenfalls" einen Indexshift - also eine Indexverschiebung - bei der
Reihe über die [mm] $(-1)^i*\tilde{q}(i)=(-1)^{i-1}*((-1)*\tilde{q}(i))=(-1)^{i-1}*(-\tilde{q}(i))\,$ [/mm] ...) mit [mm] $\tilde{q}(i):=...$?!
[/mm]
P.S. Aber jetzt prüfe ich erst mal gerade, ob diese Monotoniebehauptung
meines Tipps überhaupt stimmt...
P.P.S. Erledigt:
[mm] $$\frac{\frac{1}{4i}}{1-\frac{1}{4i}}=\frac{1}{4i-1}$$
[/mm]
zeigt die Behauptung bzgl. "monoton fallende Nullfolge"...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 Di 27.11.2012 | | Autor: | petapahn |
Hallo,
danke erstmal.
ich habe also deine Aufspaltung dieser Summe übernommen. Da diese Summe nun eine geometrische Summe ist mit q= [mm] \bruch{(-1)^{ij}}{(4i)^{j}} [/mm] gilt: [mm] \summe_{j=1}^{\infty} (\bruch{-1}{4i})^{j} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{-1}{4i}}{1+\bruch{1}{4i}} [/mm] = - [mm] \bruch{1}{4i+1} [/mm]
Nun hab ich also:
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}[(-1)^{i} \cdot{} \bruch{-1}{4i+1}]
[/mm]
Damit kann ich nach dem Leibnizkriterium feststellen, dass die gesamte Reihe konvergiert, da [mm] \bruch{-1}{4i+1} [/mm] eine monoton fallende Nullfolge ist.
Stimmt das?
Wie kann man jetz beweisen, dass [mm] (a_{m})_{m \in M} [/mm] nicht summierbar ist?
Ich habe mir gedacht, dass ich beweise, dass die Reihe nicht absolut konvergent ist --> Die Familie ist nicht summierbar. Stimmt der Gedanke?
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Hallo petapahn,
nochmal zur Teilbetrachtung der inneren Summe.
Für gerades i gilt:
[mm] \summe_{j=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{ij}}{(4i)^j}=\summe_{j=1}^{\infty}\bruch{1}{(4i)^j}=-1+\summe_{j=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{4i}\right)^j=-1+\bruch{1}{1-\bruch{1}{4i}}=\bruch{1}{4i-1}
[/mm]
Für ungerades i gilt:
[mm] \summe_{j=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{ij}}{(4i)^j}=\summe_{j=1}^{\infty}\bruch{(-1)^j}{(4i)^j}=-1+\summe_{j=0}^{\infty}\left(-\bruch{1}{4i}\right)^j=-1+\bruch{1}{1+\bruch{1}{4i}}=-\bruch{1}{4i+1}
[/mm]
Wenn wir das jetzt einsetzen wollen, ist es übersichtlicher, die äußere Summe über einen anderen Index, z.B. k, laufen zu lassen und immer ein ungerades i=2k-1 und ein gerades i=2k zusammenzufassen.
Dann folgt
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}\summe_{j=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{ij}}{(4i)^j}= \summe_{k=1}^{\infty}\left(-\bruch{1}{8k-3}+\bruch{1}{8k-1}\right)= \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{-2}{(8k-1)(8k-3)}
[/mm]
Wieso das jetzt nicht summierbar sein sollte, sehe ich nicht.
Überhaupt ist die Aufgabenstellung darin eigenartig, dass sie die Schreibweise unendlicher Summen benutzt, was voraussetzt, dass da überhaupt ein Grenzwert existiert - und natürlich auch, dass der Index gegen Unendlich laufen kann.
Wieso soll man dann hinterher zeigen, dass [mm] M\not=\IN^2 [/mm] sein muss?
Das macht keinen Sinn.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:59 Do 29.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo reverend,
> Hallo petapahn,
>
> nochmal zur Teilbetrachtung der inneren Summe.
>
> Für gerades i gilt:
>
> [mm]\summe_{j=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{ij}}{(4i)^j}=\summe_{j=1}^{\infty}\bruch{1}{(4i)^j}=-1+\summe_{j=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{4i}\right)^j=-1+\bruch{1}{1-\bruch{1}{4i}}=\bruch{1}{4i-1}[/mm]
>
> Für ungerades i gilt:
>
> [mm]\summe_{j=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{ij}}{(4i)^j}=\summe_{j=1}^{\infty}\bruch{(-1)^j}{(4i)^j}=-1+\summe_{j=0}^{\infty}\left(-\bruch{1}{4i}\right)^j=-1+\bruch{1}{1+\bruch{1}{4i}}=-\bruch{1}{4i+1}[/mm]
>
> Wenn wir das jetzt einsetzen wollen, ist es
> übersichtlicher, die äußere Summe über einen anderen
> Index, z.B. k, laufen zu lassen und immer ein ungerades
> i=2k-1 und ein gerades i=2k zusammenzufassen.
>
> Dann folgt
>
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\summe_{j=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{ij}}{(4i)^j}= \summe_{k=1}^{\infty}\left(-\bruch{1}{8k-3}+\bruch{1}{8k-1}\right)= \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{-2}{(8k-1)(8k-3)}[/mm]
>
> Wieso das jetzt nicht summierbar sein sollte, sehe ich
> nicht.
das ist ja eine absolut konvergente Reihe, die damit insbesondere
summierbar ist!
> Überhaupt ist die Aufgabenstellung darin eigenartig, dass
> sie die Schreibweise unendlicher Summen benutzt, was
> voraussetzt, dass da überhaupt ein Grenzwert existiert -
> und natürlich auch, dass der Index gegen Unendlich laufen
> kann.
>
> Wieso soll man dann hinterher zeigen, dass [mm]M\not=\IN^2[/mm] sein
> muss?
> Das macht keinen Sinn.
Das macht schon Sinn, wenn die Aufgabenstellung entsprechend richtig
gestellt ist.
Denn im Sinne der Summierbarkeit ist
[mm] $$\sum_{m \in \IN^2}a_m$$
[/mm]
(siehe Begriff "summierbare Folge/Familie", etwa ![[]](/images/popup.gif) hier) nicht immer das gleiche wie
[mm] $$\sum_{k=1}^\infty \sum_{n=1}^\infty a_{(k,n)}=\lim_{K \to \infty}\sum_{k=1}^K \lim_{N \to \infty}\sum_{n=1}^N a_{(k,n)}\,,$$
[/mm]
wobei beim letztstehende Ausdruck ja eh schon
[mm] $$\lim_{N \to \infty}\sum_{n=1}^N a_{(k,n)}$$
[/mm]
für jedes $k [mm] \in \IN$ [/mm] existent sein sollte... Die "Doppelreihe" [mm] $\sum_k \sum_n [/mm] ...$ kann ja
existieren, obwohl die Reihe über alle Doppelindizes [mm] $\sum_{\IN^2}...$ [/mm] dies nicht tut...
Aber bei der Aufgabe hier scheint einfach die Aufgabenstellung falsch zu
sein: Insofern macht das hier keinen Sinn...
P.S.: Danke für das Mitlesen und die Korrektur meiner Antwort!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:16 Mi 28.11.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Marcel,
> > Es sei [mm]a_{m}=\bruch{(-1)^{ij}}{(4i)^{j}}) \forall[/mm] m= (i;j)
> > [mm]\in[/mm] M.
> > [mm]\summe_{i=1}^{\infty}(\summe_{j=1}^{\infty} a_{m}[/mm]
> > konvergiert. Beweise dies.
> > Warum ist [mm](a_{m})_{m\in M}[/mm] nicht summierbar, wenn
> > [mm]M=\IN^2?[/mm]
>
> denk' nicht zu kompliziert, sondern erst mal "stückweise":
> Was ist denn für jedes [mm]i \in \IN[/mm] die Summe
> [mm]\sum_{j=1}^\infty \bruch{(-1)^{ij}}{(4i)^{j}}=(-1)^i*\sum_{j=1}^\infty \Big(\frac{-1}{4i}\Big)^j[/mm]
>
> für eine Reihe?
Diese Äquivalenz gilt doch so nicht. Dazu müsstest Du links im Zähler nicht [mm] (-1)^{ij}, [/mm] sondern [mm] (-1)^{i+j} [/mm] stehen haben.
Ich würde vorschlagen, hier lieber nach geraden und ungeraden i zu unterscheiden, um das Problem zu umgehen. Dann kann man eine Aussage über [mm] (-1)^i [/mm] treffen und entsprechend weiter verfahren.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:57 Do 29.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo reverend,
> Hallo Marcel,
>
> > > Es sei [mm]a_{m}=\bruch{(-1)^{ij}}{(4i)^{j}}) \forall[/mm] m= (i;j)
> > > [mm]\in[/mm] M.
> > > [mm]\summe_{i=1}^{\infty}(\summe_{j=1}^{\infty} a_{m}[/mm]
> > > konvergiert. Beweise dies.
> > > Warum ist [mm](a_{m})_{m\in M}[/mm] nicht summierbar, wenn
> > > [mm]M=\IN^2?[/mm]
> >
> > denk' nicht zu kompliziert, sondern erst mal "stückweise":
> > Was ist denn für jedes [mm]i \in \IN[/mm] die Summe
> > [mm]\sum_{j=1}^\infty \bruch{(-1)^{ij}}{(4i)^{j}}=(-1)^i*\sum_{j=1}^\infty \Big(\frac{-1}{4i}\Big)^j[/mm]
>
> >
> > für eine Reihe?
>
> Diese Äquivalenz gilt doch so nicht. Dazu müsstest Du
> links im Zähler nicht [mm](-1)^{ij},[/mm] sondern [mm](-1)^{i+j}[/mm] stehen
> haben.
das stimmt - da habe ich in wohlwollendem Gedanken wohl [mm] $i+j\,$ [/mm] anstatt
[mm] $ij\,$ [/mm] gelesen.
Gruß,
Marcel
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