Konvergenz uneig. Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass das uneigentliche Integral [mm] \integral_{0}^{\infty}{\frac{1}{x^{1/3}+x^3} dx} [/mm] konvergiert und einen Wert in (0,2) hat. |
Ich habe obige Aufgabe auf einem Übungszettel. Leider komme ich damit nicht ganz zurecht.
Meine Schritte waren, dass ich mir zuerst angesehen habe, ob irgendwo Nullstellen sind, damit ich nicht über diese hinweg integriere. Diese gibt es ja offensichtlich nicht und Polstellen gibt es auch keine.
Der [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}(\frac{1}{x^{1/3}+x^3}) [/mm] ist offensichtlich auch 0.
Mein Problem ist nun, ob es einen einfacheren Weg gibt, als tatsächlich eine Stammfunktion von [mm] (\frac{1}{x^{1/3}+x^3} [/mm] zu bilden. Laut WA wird diese auch nicht gerade schön (http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+1%2F(x%5E(1%2F3)%2Bx%5E3)
Meine letzte Idee war noch die Aufgabe zu zerlegen und erstmal z.B. mit dem Majoranenkriterium eine Konvergenz zu zeigen und sich dann um den Wert des Integrals zu kümmern.
Ich hoffe jemand von euch kann mir einen Denkanstoss geben, wo ich weiter machen könnte.
Viele Grüße und schonmal vielen Dank.
Obligatorisch: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:10 Di 29.11.2016 | | Autor: | fred97 |
1. Für x [mm] \in [/mm] (0,1] ist 0 [mm] \le \frac{1}{x^{1/3}+x^3} \le \frac{1}{x^{1/3}} [/mm] und $ [mm] \integral_{0}^{1}{\frac{1}{x^{1/3}} dx} [/mm] $ konvergent.
Also ist $ [mm] \integral_{0}^{1}{\frac{1}{x^{1/3}+x^3} dx} [/mm] $ konvergent.
2. Für x [mm] \ge [/mm] 1 ist 0 [mm] \le \frac{1}{x^{1/3}+x^3} \le \frac{1}{x^{3}} [/mm] und $ [mm] \integral_{1}^{\infty}{\frac{1}{x^{3}} dx} [/mm] $ konvergent.
Also ist $ [mm] \integral_{1}^{\infty}{\frac{1}{x^{1/3}+x^3} dx} [/mm] $ konvergent.
Aus 1. und 2. folgt die Konvergenz von $ [mm] \integral_{0}^{\infty}{\frac{1}{x^{1/3}+x^3} dx} [/mm] $
Berechne nun Du die Integrale $ [mm] \integral_{0}^{1}{\frac{1}{x^{1/3}} dx} [/mm] $ und [mm] \integral_{1}^{\infty}{\frac{1}{x^{3}} dx} [/mm]
Deren Summe sollte dann in (0,2) liegen.
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Sehr gut, das ist natürlich ein recht einfacher Lösungsweg.
Nachdem ich das ganze jetzt mal mit der Grenze 2 ausprobiert habe, habe ich noch eine kleine Frage an dich.
Sehe ich das richtig, dass man die 1 als Grenze nimmt, weil sich da alle Überlegungen und Abschätzungen viel leichter rechnen lassen, als mit der Grenze 2?
Grundsätzlich ist das Aufteilen in zwei Integrale (bestimmt und uneigentlich) aber ja beliebig, oder?
Viele Grüße und nochmal vielen Dank :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:16 Mi 30.11.2016 | | Autor: | fred97 |
> Sehr gut, das ist natürlich ein recht einfacher
> Lösungsweg.
> Nachdem ich das ganze jetzt mal mit der Grenze 2
> ausprobiert habe, habe ich noch eine kleine Frage an dich.
>
> Sehe ich das richtig, dass man die 1 als Grenze nimmt, weil
> sich da alle Überlegungen und Abschätzungen viel leichter
> rechnen lassen, als mit der Grenze 2?
Ja
> Grundsätzlich ist das Aufteilen in zwei Integrale
> (bestimmt und uneigentlich) aber ja beliebig, oder?
Ja
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> Viele Grüße und nochmal vielen Dank :)
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