Konvergenz und Reihenwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie jeweils alle x [mm] \in \IR, [/mm] für die die Reihe konvergent ist und berechnen Sie ggf. den Reihenwert.
a) [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (2x)^{3k+1} [/mm] b) [mm] \summe_{k=0}^{\infty} 1/(1+x^2)^k [/mm] c) [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (7-x^2)^{2k} [/mm] |
Ich habe mich soweit mit der Konvergenz schon beschäfftigt, aber bei a) und c) bekomme ich den Reihenwert nicht raus. Ich habe eine Idee, die mir aber irgendwie nicht richtig scheint:
Für |2x|<1 gilt:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} (2x)^{3k+1} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (2x)^k*(2x)^k*(2x)^k*2x [/mm] = 2x* [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (2x)^k*(2x)^k*(2x)^k
[/mm]
Nun gilt ja für [mm] (2x)^k [/mm] mit |2x|<1: [mm] \limes_{k \to \infty}(2x)^k [/mm] = 0. Kann ich deswegen schlussfolgern: 2x* [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (2x)^k*(2x)^k*(2x)^k [/mm] = 2x*0*0*0 (k [mm] \to \infty)?
[/mm]
(Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.)
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Hallo fagottator,
> Bestimmen Sie jeweils alle x [mm]\in \IR,[/mm] für die die Reihe
> konvergent ist und berechnen Sie ggf. den Reihenwert.
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> a) [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (2x)^{3k+1}[/mm] b)
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} 1/(1+x^2)^k[/mm] c)
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (7-x^2)^{2k}[/mm]
> Ich habe mich soweit
> mit der Konvergenz schon beschäfftigt, aber bei a) und c)
> bekomme ich den Reihenwert nicht raus. Ich habe eine Idee,
> die mir aber irgendwie nicht richtig scheint:
>
> Für |2x|<1 gilt:
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (2x)^{3k+1}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (2x)^k*(2x)^k*(2x)^k*2x[/mm]
> = 2x* [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (2x)^k*(2x)^k*(2x)^k[/mm]
> Nun gilt
> ja für [mm](2x)^k[/mm] mit |2x|<1: [mm]\limes_{k \to \infty}(2x)^k[/mm] = 0.
> Kann ich deswegen schlussfolgern: 2x*
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (2x)^k*(2x)^k*(2x)^k[/mm] = 2x*0*0*0 (k
> [mm]\to \infty)?[/mm]
Nee, das klappt nicht ...
Die Idee, es umzuschreiben und v.a $2x$ "rauszuziehen", ist aber schonmal sehr gut.
Du hast dann also [mm] $2x\cdot{}\sum\limits_{k=0}^{\infty}(2x)^{3k}=2x\cdot{}\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left[(2x)^{3}\right]^k=2x\cdot{}\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left(8x^3\right)^{k}$
[/mm]
Nun solltest du an die geometrische Reihe denken und wann sie wogegen konvergiert ....
Bei (c) ganz ähnlich ...
>
> (Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.)
LG
schachuzipus
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