Konvergenz und Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien [mm] (a_{n})_{n\in\IN} (b_{n})_{n\in\IN} [/mm] konvergente Folgen in [mm] \IK [/mm] mit [mm] a_{0}:= \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n} [/mm] und [mm] b_{0}:= \limes_{n\rightarrow\infty}b_{n}. [/mm]
Zeigen Sie:
a) [mm] (a_{n}+b_{n})_{n\in\IN} [/mm] ist konvergent und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (a_{n}+b_{n}) [/mm] = [mm] a_{0} [/mm] + [mm] b_{0}
[/mm]
b) [mm] (a_{n}b_{n})_{n\in\IN} [/mm] ist konvergent und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (a_{n}b_{n}) [/mm] = [mm] a_{0}b_{0}
[/mm]
c) Ist [mm] b_{n}_{n\in\IN} [/mm] Folge in [mm] \IK\backslash\{0\} [/mm] und [mm] b_{0}\not=0, [/mm] so ist [mm] (\bruch{a_{n}}{b_{n}})_{n\in\IN} [/mm] konvergent und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{n}}{b_{n}}=\bruch{a_{0}}{b_{0}}
[/mm]
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Brauche da Hilfe, würde mich sehr über eure Antworten freun!
Vielen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Tony,
wie sieht's mit eigenen Ansätzen aus (--> s. Forenregeln!!)
Wie ist der GW einer Folge definiert?
Denke an das [mm] $\varepsilon$ [/mm] - Kriterium.
Damit kannst du das beweisen.
Also versuch's mal und poste bitte deine Versuche
LG
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:40 So 13.01.2008 | | Autor: | Dr.Sway |
Hallo,
Also.
Ich würde folgendermaßen vorgehen:
du kennst ja die Regeln für lim und wendest diese einfach an.
also z.B.:
a) [mm] (a_{n}+b_{n})_{n\in\IN} [/mm] ist konvergent und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (a_{n}+b_{n}) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] + [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} b_{n} [/mm] = [mm] a_{0} [/mm] $ + $ [mm] b_{0} [/mm]
die anderen analog
schöne Grüße
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> Seien [mm](a_{n})_{n\in\IN} (b_{n})_{n\in\IN}[/mm] konvergente
> Folgen in [mm]\IK[/mm] mit [mm]a_{0}:= \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}[/mm]
> und [mm]b_{0}:= \limes_{n\rightarrow\infty}b_{n}.[/mm]
>
> Zeigen Sie:
>
> a) [mm](a_{n}+b_{n})_{n\in\IN}[/mm] ist konvergent und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (a_{n}+b_{n})[/mm] = [mm]a_{0}[/mm] + [mm]b_{0}[/mm]
>
> b) [mm](a_{n}b_{n})_{n\in\IN}[/mm] ist konvergent und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (a_{n}b_{n})[/mm] = [mm]a_{0}b_{0}[/mm]
>
> c) Ist [mm]b_{n}_{n\in\IN}[/mm] Folge in [mm]\IK\backslash\{0\}[/mm] und
> [mm]b_{0}\not=0,[/mm] so ist [mm](\bruch{a_{n}}{b_{n}})_{n\in\IN}[/mm]
> konvergent und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{n}}{b_{n}}=\bruch{a_{0}}{b_{0}}[/mm]
>
> Brauche da Hilfe, würde mich sehr über eure Antworten
> freun!
Betrachte folgende Abschätzungen der Differenz zwischen den drei behaupteten Limites und dem jeweiligen Folgenglied:
[mm]\red{\text{a)}}\qquad |(a_n +b_n)-(a_0 +b_0)|=|(a_n-a_0)+(b_n-b_0)|\leq |a_n-a_0|+|b_n-b_0|[/mm]
[mm]\red{\text{b)}}\qquad |a_n b_n-a_0 b_0|=|a_n(b_n-b_0)+(a_n-a_0)b_0|\leq |a_n|\cdot |b_n-b_0|+|a_n-a_0|\cdot |b_0|[/mm]
[mm]\red{\text{c)}}\qquad \Big|\frac{a_n}{b_n}-\frac{a_0}{b_0}\Big|=\Big|\frac{a_n b_0-a_0 b_n}{b_n b_0}\Big|
= \frac{|(a_n -a_0)b_0+a_0(b_0-b_n)|}{|b_n|\cdot|b_0|}
\leq \frac{|a_n-a_0|\cdot|b_0|+|a_0|\cdot |b_0-b_n|}{|b_n|\cdot|b_0|}[/mm]
Nun musst Du also (unter Verwendung dieser Abschätzungen) für beliebig vorgegebenes [mm] $\varepsilon [/mm] >0$ ein [mm] $n_0$ [/mm] angeben können, so dass die rechten Seiten dieser Abschätzungen für alle [mm] $n>n_0$ [/mm] kleiner als [mm] $\varepsilon$ [/mm] sind. Beachte dazu insbesondere: wenn eine Folge konvergent ist, dann ist sie auch beschränkt. Deshalb kann in diesen Abschätzungen ein Faktor wie z.B. [mm] $|a_n|$ [/mm] durch eine Konstante nach oben beschränkt werden.
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