Konvergenz und Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:14 Mi 08.11.2006 | | Autor: | hiltrud |
| Aufgabe | Berechne-soweit er existiert- den Grenzwert folgender Folge:
[mm] (1-\bruch{1}{n})^{n^{2}} [/mm] |
hallo, ich habe gedacht die Aufgabe wäre eigentlich ziemlich leicht. ich habe einfach gesagt das [mm] \bruch{1}{n} [/mm] gegen 0 konvergiert und somit der grenzwert ja logischerweise 1 ist. mir wurde gesagt das ich das aber so nicht machen kann. kann mir denn jemand sagen wie es denn sonst geht?wäre nett. danke schonmal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:41 Mi 08.11.2006 | | Autor: | statler |
Guten Tag Hiltrud!
> Berechne-soweit er existiert- den Grenzwert folgender
> Folge:
>
> [mm](1-\bruch{1}{n})^{n^{2}}[/mm]
> hallo, ich habe gedacht die Aufgabe wäre eigentlich
> ziemlich leicht. ich habe einfach gesagt das [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
> gegen 0 konvergiert und somit der grenzwert ja
> logischerweise 1 ist. mir wurde gesagt das ich das aber so
> nicht machen kann. kann mir denn jemand sagen wie es denn
> sonst geht?
Das ist eben eins der Kerngeschäfte der Analysis, so Dinger wie [mm] 1^{\infty} [/mm] zu analysieren.
Dieser Fall ist einfach, wenn man weiß und benutzen darf, daß die Folge
[mm] (1-\bruch{1}{n})^{n}
[/mm]
den Grenzwert 1/e hat. Das liegt nicht so ganz auf der Hand und erfordert, wenn man es ordentlich machen will, mehr Platz und Zeit. Es ist aber in den einschlägigen Lehrbüchern zu finden.
Und mit dem Wissen müßtest du der Aufgabe jetzt alleine beikommen...
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:53 Mi 08.11.2006 | | Autor: | hiltrud |
das (1+ [mm] \bruch{1}{n})^{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{e} [/mm] ist das weiß ich. aber ich weiß nicht was mir das hier weiterhelfen soll. sonst hätte ich es ja schon gemacht. kannst du mir da nicht helfen? ich wüsste nicht wie ich das sonst schaffen soll. ich hab da keine idee für. wäre echt nett...natürlich nur wenn du zeit und lust hast
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:01 Mi 08.11.2006 | | Autor: | statler |
> daß (1- [mm]\bruch{1}{n})^{n}[/mm] = [mm]\bruch{1}{e}[/mm] ist das weiß ich.
Schön! Dann ist aber doch
(1 - [mm]\bruch{1}{n})^{n^{2}}[/mm] =
(1 - [mm]\bruch{1}{n})^{n*n}[/mm] =
((1 - [mm]\bruch{1}{n})^{n})^{n}[/mm] [mm] \approx
[/mm]
[mm](\bruch{1}{e})^{n}[/mm] [mm] \approx [/mm] ?
Nun klarer, ein Schritt muß für dich bleiben
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:07 Mi 08.11.2006 | | Autor: | hiltrud |
[mm] \bruch{1}{e}^{n} [/mm] was soll man denn da noch verändern. für mich wäre das jetzt eigentlich fertig. das versteh ich nun absolut nicht was ich da noch machen soll. das ist doch der grenzwert oder nicht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:21 Mi 08.11.2006 | | Autor: | statler |
> [mm](\bruch{1}{e})^{n}[/mm] was soll man denn da noch verändern.
Das *n*!
Was wird denn mit diesem Bruch für n [mm] \to[/mm] [mm]\infty[/mm]?
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 Mi 08.11.2006 | | Autor: | hiltrud |
hey, achja ist kalr. das wird immer kleiner und läuft gegen null. wie aber schrieb ich das denn ordentlich auf? das kann ich hier nicht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:34 Mi 08.11.2006 | | Autor: | statler |
> hey, achja ist kalr. das wird immer kleiner und läuft gegen
> null. wie aber schrieb ich das denn ordentlich auf? das
> kann ich hier nicht
So
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (1 - [mm]\bruch{1}{n})^{n^{2}}[/mm] = ... = 0
aber mit den Zwischenschritten statt der Pünkte.
Ciao
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