Konvergenz u Divergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:18 Mi 14.12.2005 | | Autor: | Sinus |
| Aufgabe | Die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{ \infty} a_{n} [/mm] sei divergent und alle [mm] a_{n} [/mm] seien positiv.
Zeige, dass [mm] \summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{a_{n}}{1+a_{n}} [/mm] divergiert.
Zeige, dass [mm] \summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{a_{n}}{1+n^{2}a_{n}} [/mm] konvergiert.
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Ich habe diese Aufgabe schonmal reingestellt und leider in der von mir angegebenen Zeit keine Antwort erhalten. Mich würde trotzdem interessieren, wie ich hier vorgehen könnte. Klar, eine Fallunterscheidung, wann divergiert und wann konvergiert die Reihe, aber das muss ich ja irgendwie zeigen können. Wenn mir jemand Tipps geben könnte, das wäre super.
Vielen Dank,
Sinus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:54 Mi 14.12.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo Sinus!
> Die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{ \infty} a_{n}[/mm] sei divergent und
> alle [mm]a_{n}[/mm] seien positiv.
>
> Zeige, dass [mm]\summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{a_{n}}{1+a_{n}}[/mm]
> divergiert.
>
> Zeige, dass [mm]\summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{a_{n}}{1+n^{2}a_{n}}[/mm]
> konvergiert.
>
>
> Ich habe diese Aufgabe schonmal reingestellt und leider in
> der von mir angegebenen Zeit keine Antwort erhalten. Mich
> würde trotzdem interessieren, wie ich hier vorgehen könnte.
> Klar, eine Fallunterscheidung, wann divergiert und wann
> konvergiert die Reihe, aber das muss ich ja irgendwie
> zeigen können. Wenn mir jemand Tipps geben könnte, das wäre
> super.
Für die erste Reihe würde ich die beiden Fälle unterscheiden:
Fall 1: [mm] $a_n\le [/mm] 1$ für fast alle $n$
Fall 2: [mm] $a_n\ge [/mm] 1$ für unendlich viele $n$
Im Fall 1 findet man dann eine divergente Minorante (deren Divergenz sich aus [mm] $\summe a_n$ [/mm] herleitet...)
Im Fall 2 kann man zeigen, dass unendliche viele [mm] $\bruch{a_n}{1+a_n}$ [/mm] größer einem festen positiven Zahl sind, woraus die Divergenz folgt.
Bei der zweiten Reihe kann man sofort eine konvergente Majorante angeben, probiere mal ein paar Reihen, von denen du bereits weißt, dass sie konvergent sind...
Falls du nicht weiter kommst, melde dich bitte noch mal 
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 Mi 14.12.2005 | | Autor: | Sinus |
| Aufgabe | Die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{ \infty} a_{n} [/mm] sei divergent und alle [mm] a_{n} [/mm] seien positiv.
(a) Zeige, dass [mm] \summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{a_{n}}{1+a_{n}}
[/mm]
divergiert.
(b) Zeige, dass [mm] \summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{a_{n}}{1+n^{2}a_{n}}
[/mm]
konvergiert. |
Ich weiß nicht, warum du bei (a) zwei Fälle unterschieden hast.
Kann man die Summe nicht folgendermaßen zerlegen:
[mm] \summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{a_{n}}{1+a_{n}}=\summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{a_{n}}{1}+\summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{a_{n}}{a_{n}}=1+\summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{a_{n}}
[/mm]
Da nach Voraussetzung (Aufgabenstellung die Reihe [mm] a_{n} [/mm] divergiert, dann auch 1? (also nach dem Minorantenkriterium: [mm] a_{n} [/mm] divergiert, dann auch 1 oder die gesamte Reihe)???
Und bei (b) habe ich folgendes zerlegt:
[mm] \summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{a_{n}}{1+ n^{2}a_{n}}= \summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{a_{n}}{1} [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{a_{n}}{n^{2} a_{n}} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{a_{n}}{1} [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{1}{n^{2}}
[/mm]
Kann man jetzt so argumentieren, dass [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^{2}} [/mm] konvergiert (hatten wir schon in Vorlesung) und dann auch die gesamte Reihe? Wie mache ich es sonst?
Vielen Dank für eure Hilfe im Voraus!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:02 Mi 14.12.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Sinus!
> Die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{ \infty} a_{n}[/mm] sei divergent und
> alle [mm]a_{n}[/mm] seien positiv.
>
> (a) Zeige, dass [mm]\summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{a_{n}}{1+a_{n}}[/mm]
>
> divergiert.
>
> (b) Zeige, dass [mm]\summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{a_{n}}{1+n^{2}a_{n}}[/mm]
>
> konvergiert.
> Ich weiß nicht, warum du bei (a) zwei Fälle unterschieden
> hast.
Weil es nötig ist...
> Kann man die Summe nicht folgendermaßen zerlegen:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{a_{n}}{1+a_{n}}=\summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{a_{n}}{1}+\summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{a_{n}}{a_{n}}=1+\summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{a_{n}}[/mm]
Nein, das ist in vielerlei Hinsicht falsch.
Erstens kann man einen Bruch nicht dadurch auseinanderziehen, dass man eine Summe im Nenner entzerrt (elementare Bruchrechenregeln, Klasse 6!).
Zweitens würde gelten:
[mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{a_n} [/mm] = [mm] \sum\limits_{n=1}^{\infty} [/mm] 1 = [mm] \infty \ne [/mm] 1$.
> Da nach Voraussetzung (Aufgabenstellung die Reihe [mm]a_{n}[/mm]
> divergiert, dann auch 1? (also nach dem
> Minorantenkriterium: [mm]a_{n}[/mm] divergiert, dann auch 1 oder die
> gesamte Reihe)???
Nein,das ist Unsinn.
> Und bei (b) habe ich folgendes zerlegt:
> [mm]\summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{a_{n}}{1+ n^{2}a_{n}}= \summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{a_{n}}{1}[/mm]
> + [mm]\summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{a_{n}}{n^{2} a_{n}}[/mm] =
> [mm]\summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{a_{n}}{1}[/mm] + [mm]\summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{1}{n^{2}}[/mm]
>
> Kann man jetzt so argumentieren, dass
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^{2}}[/mm] konvergiert (hatten
> wir schon in Vorlesung) und dann auch die gesamte Reihe?
Gleicher Fehler wie oben beim Auseinanderziehen des Bruches...
Man macht es so, wie es erklärt wurde.
Bei der zweiten Aufgabe schätzt du eben
[mm] $\frac{a_n}{1+n^2a_n} \le \frac{1}{n^2}$
[/mm]
ab, was wegen
[mm] $a_nn^2 \le a_nn^2+1$
[/mm]
wahr ist.
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 Do 15.12.2005 | | Autor: | Sinus |
Hallo Julius,
vielleicht kannst du meine Überlegungen zu b) bitte überprüfen. Ich möchte wissen, ob ich es richtig gemacht habe:
Schätze: [mm] \bruch{a_{n}}{1+n^{2}a_{n}} \le \bruch{1}{n^{2}}
[/mm]
[mm] \gdw a_{n}n^{2} \le 1+a_{n}n^{2}
[/mm]
Definiere [mm] c_{k}:=\bruch{1}{n^{2}} [/mm] und
[mm] a_{k}:= \bruch{a_{n}}{1+n^{2}a_{n}} [/mm]
Es gilt also [mm] |a_{k}| \le c_{k} \forall [/mm] k [mm] \ge [/mm] N und ist [mm] \summe_{k=1}^{ \infty}c_{k} [/mm] konvergent, so ist [mm] \summe_{k=1}^{ \infty}a_{k} [/mm] konvergent.
[mm] \summe_{k=1}^{ \infty}c_{k} [/mm] heißt Majorante von [mm] \summe_{k=1}^{ \infty}a_{k}.
[/mm]
In der Vorlesung hatten wir schon bewiesen, dass [mm] \summe_{k=1}^{ \infty}c_{k} [/mm] konvergiert.
Vielen Dank für´s nachschauen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:06 Do 15.12.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Sinus
> Schätze: [mm]\bruch{a_{n}}{1+n^{2}a_{n}} \le \bruch{1}{n^{2}}[/mm]
Man sagt nicht Schätze, sondern Ich schätze ab.
> [mm]\gdw a_{n}n^{2} \le 1+a_{n}n^{2}[/mm]
> Definiere
> [mm]c_{k}:=\bruch{1}{n^{2}}[/mm] und
> [mm]a_{k}:= \bruch{a_{n}}{1+n^{2}a_{n}}[/mm]
Unnötiger Aufwand, warum ne neue Größe einführen, ist aber auch so richtig!
> Es gilt also [mm]|a_{k}| \le c_{k} \forall[/mm] k [mm]\ge[/mm] N und ist
Das N darf man nicht einfach behaupten ,sondern muss es angeben: hier einfach N=1
> [mm]\summe_{k=1}^{ \infty}c_{k}[/mm] konvergent, so ist
> [mm]\summe_{k=1}^{ \infty}a_{k}[/mm] konvergent.
> [mm]\summe_{k=1}^{ \infty}c_{k}[/mm] heißt Majorante von
bessr : denn......Ist Majorante
> [mm]\summe_{k=1}^{ \infty}a_{k}.[/mm]
>
> In der Vorlesung hatten wir schon bewiesen, dass
> [mm]\summe_{k=1}^{ \infty}c_{k}[/mm] konvergiert.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 Do 15.12.2005 | | Autor: | Sinus |
Hallo Marc,
ich habe wohl das mit der Divergenz und Kovergenz von Reihen einfach nocht nicht verstanden.
Wenn [mm] a_{n} \le [/mm] 1, dann ist doch der maximale Wert, den die Reihe erreichen kann bei [mm] \bruch{1}{2}. [/mm] Damit konvergiert sie doch dann, oder ?
Kannst du mir bitte helfen. Komme ÜBERHAUPT nicht weiter. Bin schon ganz verzweifelt.
Sinus
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Hallo Sinus,
> Wenn [mm]a_{n} \le[/mm] 1, dann ist doch der maximale Wert, den die
> Reihe erreichen kann bei [mm]\bruch{1}{2}.[/mm] Damit konvergiert
> sie doch dann, oder ?
das ist leider nicht richtig! Die Reihe [mm] $\summe_{n=1}^\infty \bruch 12=\limes_{n\to \infty}n\cdot \bruch 12=\infty$ [/mm] divergiert. Und das gilt auch für jede andere Konstante außer 0, egal ob größer oder kleiner als 1...
Gruß, banachella
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:53 Do 15.12.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo sinus
Das mit de Konvergenz von Reihen solltest du dir doch noch mal richtig ansehen. nicht nur [mm] (1+\wurzel{5})/2)^{n-1}1/1000000 [/mm] divergiert, d.h. wird beliebig groß auch [mm] (1+\wurzel{5})/2)^{n-1}1/i [/mm] divergiert, das ist schon ein bissel schwerer zu sehen.
Für die bestimmte Divergenz also gegen + oder [mm] -\infty, [/mm] musst du zeigen, die summe wirdg größer als jedes vorgegebene N, für die Konvergenz musst du beweisen, dass ab einem N die Summe nur noch um ein beliebig klein vorgegebenes [mm] \varepsilon [/mm] wächst! Und zwar die Summe, nicht nur die an selbst! Wenn du Reihen hast, von denen du die Konvergenz schon kennst, kann man zeigen, dass jedes Glied der Reihe (bis auf die Anfangsglieder) kleiner ist als bei der bekannten konv. Reihe, das heisst Majorantenkriterium, oder mit ner divergierenden Reihe vergleichen, die immer kleiner bleibt, dann hat man das minorantenkr. für Divergenz.
Sieh dir Definitionen immer noch mal genau an bevor du an nen Beweis gehst, ohne die oder daraus abgeleitete Sätze zu benutzen kommst du in Mathe nicht weit.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:22 Do 15.12.2005 | | Autor: | Sinus |
Hallo,
vielen Dank für eure Hilfe. Ich sitze leider immer noch an (a) und komme bei dem Beweis der Divergenz nicht so wirklich weiter.
Zu zeigen war ja, dass die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{a_{n}}{1+a_{n}} [/mm] divergiert.
1. Fall [mm] a_{n} \le [/mm] 1
[mm] \summe_{n=1}^{1}\bruch{a_{n}}{1+a_{n}}= \bruch{1}{2} [/mm] die Zahlen von 0 bis 1 sind doch nicht zuglassen, weil in der Summe in der Aufgabenstellung n=1, oder? Ich weiß einfach nicht, wie ich weiter machen soll... Wie bekomme ich denn meine Minorante raus??
2. Fall [mm] a_{n}>1 [/mm]
Ich habe abgeschätzt
[mm] \bruch{1}{2}\ge \bruch{1}{n} \forall [/mm] n > 1
[mm] \gdw \bruch{1}{2} [/mm] n [mm] \ge [/mm] 1
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{2} [/mm] n= [mm] \infty
[/mm]
Also Divergenz!
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:45 Fr 16.12.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo Sinus,
> vielen Dank für eure Hilfe. Ich sitze leider immer noch an
> (a) und komme bei dem Beweis der Divergenz nicht so
> wirklich weiter.
> Zu zeigen war ja, dass die Reihe
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{a_{n}}{1+a_{n}}[/mm] divergiert.
>
> 1. Fall [mm]a_{n} \le[/mm] 1
> [mm]\summe_{n=1}^{1}\bruch{a_{n}}{1+a_{n}}= \bruch{1}{2}[/mm] die
> Zahlen von 0 bis 1 sind doch nicht zuglassen, weil in der
> Summe in der Aufgabenstellung n=1, oder? Ich weiß einfach
Hier verwechselst du [mm] $a_n$ [/mm] mit $n$, also das Folgenglied [mm] $a_n$ [/mm] zum Index $n$ mit dem Index.
> nicht, wie ich weiter machen soll... Wie bekomme ich denn
> meine Minorante raus??
>
> 2. Fall [mm]a_{n}>1[/mm]
> Ich habe abgeschätzt
> [mm]\bruch{1}{2}\ge \bruch{1}{n} \forall[/mm] n > 1
> [mm]\gdw \bruch{1}{2}[/mm] n [mm]\ge[/mm] 1
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{2}[/mm] n= [mm]\infty[/mm]
> Also Divergenz!
Und hier verwechselst Du [mm] $\summe_{k=1}^n a_k$ [/mm] mit [mm] $\lim_{n\to\infty} a_k$, [/mm] also eine unendliche Reihe mit dem Grenzwert einer Folge.
Deswegen nochmal ganz kurz zwei Beispiele zu Folgen und Reihen:
Die Zahlenfolge $1$, [mm] $\bruch{1}{2}$, $\bruch{1}{3}$, $\bruch{1}{4}$, $\bruch{1}{5}$, $\ldots$ [/mm] hat den Term
[mm] $a_n=\bruch{1}{n}$, [/mm] denn [mm] $a_1=\bruch{1}{1}$, $a_2=\bruch{1}{2}$, $a_3=\bruch{1}{3}$, [/mm] usw.
Für ihren Grenzwert schreibt man
[mm] $\limes_{n\to\infty} a_n=\limes_{n\to\infty} \bruch{1}{n}=0$
[/mm]
Würde man nicht diese Folgenglieder selbst, sondern jeweils die Summe der ersten $n$ Folgenglieder betrachten, erhält man diese Folge
$1$, [mm] $1+\bruch{1}{2}$, $1+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}$, $1+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}+\bruch{1}{4}$, $\ldots$, $1+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}+\bruch{1}{4}+\ldots+\bruch{1}{n}$
[/mm]
Dies schreibt man kurz so
[mm] $\summe_{k=1}^{n} a_n$ [/mm] bzw. [mm] $\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k}$
[/mm]
und nennt es (endliche) Reihe oder n. Partialsumme (weil bis zum Index n summiert wird).
Diese Folge von Partialsummen hat unter Umständen auch einen Grenzwert:
[mm] $\limes_{n\to\infty} \summe_{k=1}^{n} a_k$
[/mm]
oder kurz
[mm] $\summe_{k=1}^{\infty} a_k$
[/mm]
Die Reihe oben ("harmonische Reihe") hat keinen Grenzwert
[mm] $\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k}$ [/mm] ist unbeschränkt.
Ein weiteres Beispiel, das auch für Deine Aufgabe (für Deine zweite Reihe  ) interessant ist, ist folgende Folge und Reihe:
[mm] $a_n=\bruch{1}{n^2}$
[/mm]
Für den Grenzwert der Folge gilt: [mm] $\limes_{n\to\infty} \bruch{1}{n^2}=0$
[/mm]
Für den Grenzwert der Reihe gilt: [mm] $\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k} [/mm] < 2$, also ist diese Reihe konvergent (da monoton wachsend und beschränkt) (der genaue Grenzwert ist übrigens [mm] $\bruch{\pi^2}{6}$)
[/mm]
Vielleicht ist die Folgen- und Reihenkonvergenz dadurch etwas klarer geworden.
Zurück zur Aufgabe:
Wir wissen, dass [mm] $\summe_{n=1}^{\infty} a_n$ [/mm] divergent ist, und dass alle Folgenglieder [mm] $a_n>0$ [/mm] sind.
Zu zeigen ist, dass dann auch die Reihe [mm] $\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{a_n}{1+a_n}$ [/mm] divergiert.
Ich hatte vorgeschlagen die beiden Fälle
Fall 1: [mm] $a_n\le1$ [/mm] für fast alle n
Fall 2: [mm] $a_n\ge1$ [/mm] für unendlich viele n
zu unterscheiden. Einer diesen beiden Fälle muß auf die unbekannte Folge [mm] $a_n$ [/mm] zutreffen. Dass ich genau diese Fälle unterscheide, ergab sich aus meinem Versuch, die Reihe abzuschätzen, d.h., ich habe (auf meinem Schmierzettel) zuerst versucht abzuschätzen und dann gesehen, dass ich diese beiden Fälle unterscheiden muss, daher steht die Fallunterscheidung für den Leser erst mal ohne Motivation im Raum.
zu Fall 1:
[mm] $a_n\le [/mm] 1$ für fast alle n bedeutet, dass alle --bis auf endlich viele-- Folgenglieder [mm] $a_n$ $\le [/mm] 1$ sind.
Da dann nur endlich viele [mm] $a_n>1$, [/mm] gibt es eine Indexposition $N$, ab der alle [mm] $a_n\le1$ [/mm] für alle $n>N$.
Daraus folgt, dass [mm] $\bruch{a_n}{1+\blue{a_n}}\ge\bruch{a_n}{1+\blue{1}}=\bruch{1}{2} a_n$ [/mm] für alle $n>N$
Nun ist folgende Rechnung möglich:
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{a_n}{1+a_n}$
[/mm]
[mm] $=\summe_{n=1}^{N} \bruch{a_n}{1+a_n}+\summe_{n=N+1}^{\infty} \bruch{a_n}{1+a_n}$
[/mm]
[mm] $\ge\summe_{n=1}^{N} \bruch{a_n}{1+a_n}+\summe_{n=N+1}^{\infty} \bruch{1}{2} a_n$
[/mm]
[mm] $=\summe_{n=1}^{N} \bruch{a_n}{1+a_n}+\bruch{1}{2}*\blue{\summe_{n=N+1}^{\infty} a_n}$
[/mm]
Die erste Summation ist irgendeine feste Zahl (die sich aus den ersten N Folgengliedern von [mm] $a_n$ [/mm] ergibt (übrigens befinden sich in der ersten Summation alle Folgenglieder mit [mm] $a_n>1$).
[/mm]
Die zweite Summation ist aber auf jeden Fall divergent, andernfalls wäre die Reihe [mm] $\summe_{n=1}^{\infty} a_n$ [/mm] auch konvergent.
Damit haben wir eine divergente Reihe ("divergente Minorante") gefunden, deren Partialsummen für jedes $n$ kleiner/gleich den Partialsummen von [mm] $\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{a_n}{1+a_n}$ [/mm] sind.
Dann muss auch die Reihe [mm] $\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{a_n}{1+a_n}$ [/mm] divergieren.
zu Fall 2:
Wenn [mm] $a_n\ge1$, [/mm] dann haben wir [mm] $\bruch{1}{a_n}\le [/mm] 1$ und damit [mm] $\bruch{a_n}{1+a_n}\ge \bruch{1}{2}$, [/mm] wie folgende Abschätzung zeigt:
[mm] $\bruch{a_n}{1+a_n}=\bruch{a_n*1}{a_n*\left(\bruch{1}{a_n}+1\right)}=\bruch{1}{\blue{\bruch{1}{a_n}}+1}\ge \bruch{1}{\blue{1}+1}=\bruch{1}{2}$
[/mm]
Nun gilt [mm] $a_n\ge1$ [/mm] und damit [mm] $\bruch{a_n}{1+a_n}\ge \bruch{1}{2}$ [/mm] nicht für alle Folgenglieder, aber immerhin für unendlich viele.
Stell' Dir mal eine Summe vor, in der unendlich viele Summanden [mm] $\ge\bruch{1}{2}$ [/mm] -- kann diese beschränkt sein? Nein.
Deswegen ist [mm] $\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{a_n}{1+a_n}$ [/mm] unbeschränkt, also divergent.
Viele Grüße,
Marc
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