Konvergenz sin cos < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:37 Do 14.01.2010 | | Autor: | nana |
| Aufgabe | Teilaufgabe:
Also: es geht darum z.z., dass
2x * sin (1/x) - cos (1/x)
für x -> 0 nicht konvergent ist. |
Klar ist, dass sin und cos nicht konvergieren, aber ich weiß nicht wie ich das insges beweisen soll.
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:03 Do 14.01.2010 | | Autor: | AT-Colt |
Nimm Dir zwei Folgen [mm] $x_i$ [/mm] und [mm] $\overline{x}_i$ [/mm] her, die gegen 0 konvergieren, und die in der Funktion einen unterschiedlichen Grenzwert liefern. Was ist dann?
Gruß,
AT-Colt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:46 Do 14.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo nana!
Formen wir zunächst etwas um:
[mm] $$2x*\sin\left(\bruch{1}{x}\right)-\cos\left(\bruch{1}{x}\right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2*\sin\left(\bruch{1}{x}\right)-\bruch{1}{x}*\cos\left(\bruch{1}{x}\right)}{\bruch{1}{x}}$$
[/mm]
Substituiere nun $z \ := \ [mm] \bruch{1}{x}$ [/mm] und untersuche den Grenzwert $z \ [mm] \rightarrow\infty$ [/mm] (z.B. mit  de l'Hospital).
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:21 Fr 15.01.2010 | | Autor: | nana |
Also vielen Dank für die Antworten erstmal,
aber leider haben wir hospital noch nicht offiziell durchgenommen, ich darf ihn also leider nicht anwenden und das mit den zwei Folgen, die gegen unterschiedl. Grenzwerte streben hab ich ehrlich gesagt nicht ganz verstanden...
Falls noch jmd um diese Uhrzeit antwortet: Vielen vielen Dank...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:22 Fr 15.01.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Teilaufgabe:
> Also: es geht darum z.z., dass
> 2x * sin (1/x) - cos (1/x)
> für x -> 0 nicht konvergent ist.
> Klar ist, dass sin und cos nicht konvergieren, aber ich
> weiß nicht wie ich das insges beweisen soll.
Ok, noch ein (verfeinerter) Ansatz.
Schau dir einmal die Funktion $2 x [mm] \sin(1/x)$ [/mm] an, und einmal die Funktion [mm] $\cos(1/x)$, [/mm] jeweils fuer $x [mm] \to [/mm] 0$.
Bei der ersten Funktion kannst du doch das Sandwichlemma benutzen (oder wie das bei euch heisst): $-2 |x| [mm] \le [/mm] 2 x [mm] \sin(1/x) \le [/mm] 2 |x|$. Daraus folgt $2 x [mm] \sin(1/x) \to [/mm] 0$ fuer $x [mm] \to [/mm] 0$.
Die zweite Funktion dagegen konvergiert fuer $x [mm] \to [/mm] 0$ nicht. Wenn $x [mm] \to [/mm] 0$ geht, dann geht ja $1/x [mm] \to \pm\infty$. [/mm] Du kannst also beliebig grosse Werte fuer $1/x$ bekommen, wenn $x$ beliebig klein wird.
Jetzt schwankt aber [mm] $\cos$ [/mm] immer zwischen -1 und 1. Finde doch eine Folge von beliebig grossen Werten, fuer die [mm] $\cos$ [/mm] immer 1 ist, und eine fuer die [mm] $\cos$ [/mm] immer -1 ist. Daraus bekommst du zwei Folgen fuer $x$, fuer die [mm] $\cos(1/x)$ [/mm] immer 1 bzw. -1 ist.
Schreib doch mal wie weit du kommst. Und wenn du festhaengst, ueberleg erstmal ein wenig laenger und probier rum bevor du nachfragst.
LG Felix
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