Konvergenz rekursiver Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:35 Mo 15.09.2014 | | Autor: | Eskrima |
| Aufgabe | Die Folge (un) ist definiert durch den Startwert u1 = 2 und
un+1 = 1 + [mm] \bruch{un}{n}
[/mm]
Beweisen Sie, dass die Folge konvergiert
und bestimmen sie ggf. den limes. |
Hallo Mathematikfreunde!
Wir sitzen verzweifelt an oben gestellter Aufgabe fest. Konvergenz bei Reihen und "normalen" Folgen zu zeigen ist mittlerweile kein Problem mehr, allerdings versagen wir bei rekursiv definierten Folgen.
Es gilt ja, dass besagte Folge konvergiert, wenn sie beschränkt ist und monoton fällt oder nach oben beschränkt ist und monoton wächst.
Für die Monotonie dachten wir uns, dass ja :
[mm] \left| an+1 - an \right| [/mm] < 0 gelten muss.
allerdings haperts dort massiv an der passenden Umformung.
für die Beschränktheit glauben wir Induktion anwenden zu müssen, und dabei anzunehmen, dass die Beschränktheit von 1 < an <2
mit dem Startwert 2 ja schon gilt.
Ist das soweit richtig, und wie müsste man bei der Induktion passend verfahren?
Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe!
Lg - die Notleidenden
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:54 Mo 15.09.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Eskrima,
> Die Folge (un) ist definiert durch den Startwert u1 = 2
> und
> un+1 = 1 + [mm] \bruch{un}{n}[/mm]
>
> Beweisen Sie, dass die Folge konvergiert
> und bestimmen sie ggf. den limes.
> Hallo Mathematikfreunde!
>
> Wir sitzen verzweifelt an oben gestellter Aufgabe fest.
> Konvergenz bei Reihen und "normalen" Folgen zu zeigen ist
> mittlerweile kein Problem mehr, allerdings versagen wir bei
> rekursiv definierten Folgen.
>
> Es gilt ja, dass besagte Folge konvergiert, wenn sie
> beschränkt ist und monoton fällt oder nach oben
> beschränkt ist und monoton wächst.
> Für die Monotonie dachten wir uns, dass ja :
>
> [mm]\left| an+1 - an \right|[/mm] < 0 gelten muss.
Das liest du bitte nochmal genau nach!
Übrigens kannst du wie folgt Klammern setzen:
a_{n+1} wird zu [mm] a_{n+1}.
[/mm]
> allerdings haperts dort massiv an der passenden Umformung.
>
> für die Beschränktheit glauben wir Induktion anwenden zu
> müssen, und dabei anzunehmen, dass die Beschränktheit von
> 1 < an <2
> mit dem Startwert 2 ja schon gilt.
Das verstehe ich nicht. Mit dem Startwert erhalten wir sofort
[mm] u_{1+1}=u_{2}=1+\frac{u_1}{1}=1+2=3.
[/mm]
Wie kommst du auf die Schranken?
> Ist das soweit richtig, und wie müsste man bei der
> Induktion passend verfahren?
Die Idee ist richtig, aber ihr habt noch nichts gemacht.
[mm] \bullet [/mm] Ist die Folge monoton wachsend und nach oben beschränkt
oder ist die Folge monoton fallend und nach unten beschränkt?
[mm] \bullet [/mm] Könnt ihr eine Schranke angeben?
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:12 Mo 15.09.2014 | | Autor: | Eskrima |
Gut. Von den fehlenden Latex-Kenntnissen mal abgesehen bitte.
Die obere Grenze war tatsächlich falsch gewählt.
Die untere Grenze ist aber doch 1 oder?
Naja wenn sie nach unten (oben) beschränkt und monoton fallend (wachsend) ist folgt laut unserem Skript die Konvergenz...
Ich sagte ja : Beschränktheit zu zeigen ist auch eines der Makel..
Wir hätten mit der Monotonie angefangen, oder gibt es dort eine Reihenfolge einzuhalten?
Ehrlich gesagt fehlt uns zu beiden Methoden der Ansatz...
Wir haben für die Monotonie bis jetzt den Beweis auf foldende Form gebracht :
1 + [mm] \bruch{an}{n} [/mm] < 0 , so ließe es sich bis auf
1+ [mm] \bruch{n}{n} [/mm] <0 verkürzen..
doch auch das sieht uns zu falsch aus.. -.-
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:17 Mo 15.09.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Die obere Grenze war tatsächlich falsch gewählt.
> Die untere Grenze ist aber doch 1 oder?
Das würde ich auch tippen.
> Naja wenn sie nach unten (oben) beschränkt und monoton
> fallend (wachsend) ist folgt laut unserem Skript die
> Konvergenz...
Richtig.
> Ich sagte ja : Beschränktheit zu zeigen ist auch eines der
> Makel..
> Wir hätten mit der Monotonie angefangen, oder gibt es dort
> eine Reihenfolge einzuhalten?
Nein, das kann man nicht direkt sagen. Manchmal ist es besser
mit der Monotonie anzufangen, aber nicht immer.
> Ehrlich gesagt fehlt uns zu beiden Methoden der Ansatz...
Die richtige Definition der Monotonie wäre der Anfang.
> Wir haben für die Monotonie bis jetzt den Beweis auf
> foldende Form gebracht :
> 1 + [mm]\bruch{an}{n}[/mm] < 0 , so ließe es sich bis auf
>
> 1+ [mm]\bruch{n}{n}[/mm] <0 verkürzen..
Wie kommt ihr denn dadrauf?
> doch auch das sieht uns zu falsch aus.. -.-
Ja, ist es.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:26 Mo 15.09.2014 | | Autor: | Eskrima |
ach da sollte 1+ [mm] \bruch{a_n}{n} [/mm] - [mm] a_n [/mm] < 0
stehen..
Die Definition der Monotonie ist uns bekannt.
Wortlaut des Skripts : Satz 4.13.
(i) Eine beschränkte monotone Folge (xn) konvergiert.
(ii) Eine nicht beschränkte monoton wachsende (fallende) Folge ist bestimmt divergent gegen ∞ (−∞).
mh. Durch raten werden wir auch nicht aufs Ergebnis kommen.
Aber vielen Dank schonmal für deine Hilfe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:30 Mo 15.09.2014 | | Autor: | DieAcht |
> ach da sollte 1+ [mm]\bruch{a_n}{n}[/mm] - [mm]a_n[/mm] < 0
> stehen..
>
> Die Definition der Monotonie ist uns bekannt.
>
> Wortlaut des Skripts : Satz 4.13.
> (i) Eine beschränkte monotone Folge (xn) konvergiert.
> (ii) Eine nicht beschränkte monoton wachsende (fallende)
> Folge ist bestimmt divergent gegen ∞ (−∞).
Das ist doch nicht die Definition der Monotonie!
Eine Folge
[mm] (a_n)_{n\in\IN}
[/mm]
heißt monoton fallend, wenn für alle [mm] n\in\IN [/mm] gilt: [mm] $a_{n}\red{\ge} a_{n+1}$.
[/mm]
Ich sehe keine Beträge!
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Hallo,
> Gut. Von den fehlenden Latex-Kenntnissen mal abgesehen
> bitte.
Hm, also wenn man heutzutage irgendwas studiert wo Mathe vorkommt, dann sollte man das aber schon beherrschen...
>
> Die obere Grenze war tatsächlich falsch gewählt.
> Die untere Grenze ist aber doch 1 oder?
>
> Naja wenn sie nach unten (oben) beschränkt und monoton
> fallend (wachsend) ist folgt laut unserem Skript die
> Konvergenz...
Ja, und hast du vielleicht darüber auch schonmal ein wenig selbst nachgedacht? Es ist unheimlich wichtig, sich das zu verinnerlichen.
> Ich sagte ja : Beschränktheit zu zeigen ist auch eines der
> Makel..
Das ist eine für uns völlig wertlose Information. In solchen Fällen sollte das Verständnisproblem so präzise wie möglich vorgetragen werden.
> Wir hätten mit der Monotonie angefangen, oder gibt es dort
> eine Reihenfolge einzuhalten?
In der Regel ist es sinnvoller, zuerst auf Monotonie und dann auf Beschränktheit zu untersuchen. Hier ist es so, aber von jeder Regel gibt es Ausnahmen!
> Ehrlich gesagt fehlt uns zu beiden Methoden der Ansatz...
>
> Wir haben für die Monotonie bis jetzt den Beweis auf
> foldende Form gebracht :
> 1 + [mm]\bruch{an}{n}[/mm] < 0 , so ließe es sich bis auf
>
> 1+ [mm]\bruch{n}{n}[/mm] <0 verkürzen..
>
> doch auch das sieht uns zu falsch aus.. -.-
Über das obige breiten wir mal das Mäntelchen des Schweigens. Dir ist schon klar, dass das was du an schreibst in Wirklichkeit [mm] a_n [/mm] heißt und zwar, weil n hier Index ist und keine Variable, im Gegensatz zum n im Nenner!
So, ein wichtiger Rat kam oben ja schon von DieAcht. Berechne mal einige Folgenglieder. Dann sollte klar werden, dass diese Folge nicht von Anfang an monoton ist sondern erst ab einem gewissen Folgenglied.
Diese Monotonie ist hier leider mit den beiden Standardansätzen
[mm] u_{n+1}-u_n
[/mm]
bzw. (für positive Folgen)
[mm] \bruch{u_{n+1}}{u_n}
[/mm]
nicht so direkt nachzuweisen. Bedeutet: auch hier wird man (zusätzlich) einen Induktionsbeweis benötigen. Diesen sollte man wie schon gesagt zuerst durchführen hier damit man weiß, um welche Schranke es letztlich geht bzw., dass es um die untere Schranke geht, die trivial ist.
Also wie gesagt: untersuche, welche Monotonie letztendlich vorliegt (und ab welchem n) und weise diese Monotonie per vollständigeer Induktion nach.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:32 Mo 15.09.2014 | | Autor: | Eskrima |
Richtig, wir sind schon wieder seit Stunden dabei, entschuldigt das Gedankenwirrwar.
Also. Nochmal neu im Text..
Wir kennen die Definition der Monotonie. Es muss gelten, dass
[mm] a_{n+1} \le a_{n} [/mm] bzw. [mm] a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n} \le [/mm] 0 um zu zeigen, dass die Folge monoton fällt bzw die umgekehrte Ungleichung um zu zeigen, dass sie monoton wächst, richtig?
Latexkenntnisse werden so schnell wie möglich aufgeholt. ;)
Also versuch ich erstmal die Art der Monotonie zu zeigen, und dannbeweis ichs mittels vollständiger Induktion.
Dann die Beschränktheit zeigen wegen kleinster oberer Schranke und fertig ist der Konvergenzbeweis?
Ich versuch es mal präziser auszudrücken : Im gegensatz zum expliziten Bildungsgesetz fällt es uns bedenklich schwer mit der Folge an [mm] a_{n} [/mm] an sich zu rechnen. Damit meine ich zum Beispiel so etwas wie [mm] a_{n+1} \le a_{n} [/mm] aufzulösen bzw. es so auszulegen dass es zu gewollter Aussage führt.
Aber ich versuche mich wie gesagt erst einmal daran.
Vielen Dank bis dahin..
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:44 Mo 15.09.2014 | | Autor: | Marcel |
... kommt zuerst.
Hallo Eskrima,
ich fange jetzt mal mit dem an, was Du vielleicht auch schon hättest machen
können. Aber vorweg auch mal eine Bemerkung:
Sobald Du irgendwo
[mm] $\red{|\;}z\red{\;|} [/mm] < 0$
siehst, dann kannst Du den Zettel wegschmeißen. Beträge einer reellen oder
sogar auch komplexen Zahl können nicht negativ sein!
> Die Folge (un) ist definiert durch den Startwert u1 = 2
> und
> un+1 = 1 + [mm] \bruch{un}{n}[/mm]
Also [mm] $u_1=2$ [/mm] und [mm] $u_{n+1}=1+\frac{u_n}{n}\,.$
[/mm]
Du kannst übrigens auch [mm] $u(n)\,$ [/mm] schreiben - wenn Dir das Indizieren hier nicht
behagt. Das hat etwas damit zu tun, dass eine reelle Folge eigentlich nur
eine Abbildung [mm] $\IN \to \IR$ [/mm] ist... Aber das nur nebenbei!
(Du schreibst dann [mm] $u(n+1)\,$ [/mm] für [mm] $u_{n+1}$ [/mm] etc. pp..)
Nun denn, Deine erste Aufgabe hier wäre es vielleicht gewesen:
[mm] $u_1=2,$
[/mm]
[mm] $u_2=1+\frac{u_1}{1}=3,$
[/mm]
[mm] $u_3=1+\frac{u_2}{2}=1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2},$
[/mm]
[mm] $u_4=1+\frac{u_3}{3}=1+\frac{5}{6}=\frac{11}{6},$
[/mm]
[mm] $u_5=1+\frac{11}{24}=\frac{35}{24}$
[/mm]
einfach mal zu berechnen.
Jetzt tricksen wir mal ein bisschen, denn wir schauen uns an, unter der
ANNAHME, dass wir schon WÜßTEN, dass die Folge konvergiert, wogegen
sie konvergiert (wir hoffen, dass wir dazu was sagen können).
Sei [mm] $u\,$ [/mm] der Grenzwert, dann gilt
[mm] $u=1+\left(\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\right)*u=1+0*u=1\,.$
[/mm]
Überlege Dir, warum das NOTWENDIG ist!
Wir wissen also: Wenn die Folge konvergiert, dann gegen [mm] $1\,.$ [/mm] Wenn wir uns
die obigen ersten Berechnungen ansehen, sieht's so aus, als wenn [mm] $u_n [/mm] > 1$
stets gilt. Aber eine größere untere Schranke brauchen wir gar nicht zu
suchen, sofern denn diese Folge wirklich konvergiert. (Ist Dir diese Überlegung
klar?)
Braucht man für diese untere Schranke einen Beweis? Naja, Du kannst
formal gerne einen Induktionsbeweis führen. Ich sage das jetzt mal, wie
man sich das *induktiv erdenken kann*:
Bei
[mm] $u_{n+1}=1+\frac{u_n}{n}$
[/mm]
sieht man, dass [mm] $u_{n+1}$ [/mm] sich nur um [mm] $u_n/n$ [/mm] von [mm] $1\,$ [/mm] unterscheidet. Wenn
[mm] $u_n [/mm] > 0$ war, dann ist [mm] $u_{n+1} [/mm] > [mm] 1\,.$ [/mm] Für [mm] $n=1\,$ [/mm] gilt das, der Rest folgt
dann induktiv.
Jetzt zur Monotonie: Wir sehen oben schon, dass nicht durchweg Monotonie
vorherrscht. [mm] ($u_1 [/mm] < [mm] u_2$ [/mm] aber [mm] $u_2 [/mm] > [mm] u_3$...) [/mm]
Hoffen wir, dass es ein [mm] $n_0$ [/mm] so gibt, dass ab diesem die Folge, na, wenn
wir uns die obigen ersten Folgeglieder angucken, hoffentlich monoton fällt.
(Zudem haben wir bisher auch nur eine UNTERE Schranke!)
Dazu müssen wir ein [mm] $n_0$ [/mm] finden, so dass für alle $n [mm] \ge n_0$
[/mm]
[mm] $u_{n+1}/u_{n} \le 1\,.$
[/mm]
Letzteres dürfen wir so aufstellen, da für alle (uns würde auch alle bis auf
endlich viele reichen!) [mm] $n\,$ [/mm] sowieso [mm] $u_n [/mm] > 1$ und damit [mm] $u_n [/mm] > 0$ gilt.
Es gilt
[mm] $u_{n+1}/u_n=\frac{1}{u_n}+\frac{u_n}{n*u_n}=\frac{1}{u_n}+\frac{1}{n}\,.$
[/mm]
Und wieder tricksen wir: Wir schauen, was wir haben wollen, und schauen
dann, was wir dazu wissen sollten:
[mm] $\frac{1}{u_n}+\frac{1}{n}$ [/mm] soll ja [mm] $\le [/mm] 1$ sein.
Das ist gleichbedeutend mit
[mm] $\frac{n+u_n}{n*u_n} \le [/mm] 1$
bzw.
[mm] $n+u_n \le n*u_n\,.$
[/mm]
Für [mm] $n=1\,$ [/mm] stimmt das ja offenbar nicht. Für $n=2:$
$2+3 [mm] \le 2*3\,.$
[/mm]
Passt schon!
Hoffen wir, dass wir das für alle $n [mm] \ge [/mm] 2$ zeigen können. Der Induktionsanfang
ist gerade geschehen. Gelte nun also
[mm] $n+u_n \le n*u_n$ [/mm] für ein $n [mm] \ge 2\,.$
[/mm]
Induktionsschritt:
Zu zeigen: Daraus folgt auch
[mm] $(n+1)+\red{u_{n+1}} \le (n+1)*u_{n+1}\,.$
[/mm]
Wir versuchen, diese Ungleichung herzuleiten, indem wir mit der rechten
Seite anfangen und diese dann nach unten abzuschätzen versuchen:
Es gilt
[mm] $(n+1)*u_{n+1}=(n+1)*(1+\tfrac{u_n}{n})=(n+1)+\blue{u_n+\frac{u_n}{n}}$
[/mm]
Na, siehst Du, wie der Beweis zu Ende geht? (Immer Ausschau nach dem
halten, was man haben will. Hier wäre es doch toll, wenn wir wüßten, dass
das letztstehende Blaue größergleich dem Rotmarkierten ist... Und das wissen
wir eigentlich schon, weil wir eine untere Schranke für [mm] $u_n$ [/mm] kennen...)
P.S. Das Ganze habe ich zwar relativ ausführlich hingeschrieben, aber ich
hoffe, Du siehst hier auch, dass man durchaus *konstruktiv* die Beweisideen
basteln kann. (Was braucht man, um ein Ergebnis, was man gerne hätte,
zu erreichen? Wichtig ist übrigens eigentlich immer: Was ist hinreichend
dafür, um dieses Ergebnis zu erhalten?
Die Logik ist ähnlich wie bei folgender Überlegung:
Nehmen wir an, Du wüßtest $0 [mm] \le [/mm] a < [mm] b\,.$ [/mm] Du willst nun [mm] $a^2 [/mm] < [mm] b^2$ [/mm] folgern.
Jetzt rechnest Du
[mm] $(\star)$ $a^2
Dass nun aus [mm] $a^2 [/mm] < [mm] b^2$ [/mm] auch $(a+b)*(a-b) < [mm] 0\,$ [/mm] folgt, mag interessant
sein, hilft Dir aber nicht. (Um eine Aussage [mm] $C\,$ [/mm] zu beweisen, kannst Du nicht
$C [mm] \Rightarrow [/mm] A$ beweisen und [mm] $A\,$ [/mm] als richtig erkennen - sondern:
Du mußt [mm] $A\,$ [/mm] als richtig erkennen und zeigen, dass die Folgerung $A [mm] \Rightarrow [/mm] C$ wahr ist!))
Sondern Du sagst nun: Wegen $0 [mm] \le [/mm] a < b$ ist $(a+b) > 0$ und $(a-b) < [mm] 0\,,$
[/mm]
was $(a+b)*(a-b) < 0$ zur Folge hat. Mit [mm] $\Leftarrow$ [/mm] aus [mm] $(\star)$ [/mm] folgt daher
[mm] $a^2 [/mm] < [mm] b^2\,.$
[/mm]
Bzgl. der "Logikrichtung im Beweis" ganz ausführlich: Siehe
diesen Artikel.)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 21:07 Mo 15.09.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo Marcel,
bei der Berechnung der ersten Folgenglieder ist dir ein kleiner Fehler unterlaufen: der Index geht bei 1 los, nicht bei 0.
EDIT: das war Quatsch, sorry dafür.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler | | Datum: | 00:50 Di 16.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Diophant,
> Hallo Marcel,
>
> bei der Berechnung der ersten Folgenglieder ist dir ein
> kleiner Fehler unterlaufen: der Index geht bei 1 los, nicht
> bei 0.
ich finde keinen Fehler: Es war [mm] $u_{n+1}=1+\frac{u_n}{n}$ [/mm] und [mm] $u_1=2\,.$
[/mm]
Dann folgt
[mm] $u_1=2$ [/mm] liefert [mm] $u_2=3$ [/mm] liefert [mm] $u_3=1+\frac{u_2}{2}=\frac{5}{2}$ [/mm] ...
DieAcht hatte übrigens auch [mm] $u_2=3$ [/mm] berechnet.
Gruß,
Marcel
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