Konvergenz rekursiv def. Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:03 Mo 20.11.2006 | | Autor: | Fuffi |
| Aufgabe | Seien a,b [mm] \in \IR [/mm] , [mm] a_{0} [/mm] = a, [mm] a_{1} [/mm] = b und rekursiv [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} (a_{n-1} [/mm] + [mm] a_{n} [/mm] ) für n [mm] \ge [/mm] 1. Man Zeige, dass ( [mm] a_{n} [/mm] ) konvergiert und bestimme den Limes.
Hinweis: Man betrachte zuerst [mm] b_{n} [/mm] = [mm] a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n} [/mm] |
Ich komme da einfach nicht rein in die Aufgabe. Der Tip hilft mir auch nicht wirklich weiter. Kann mir vll jemand noch einen Tip geben wie ich an die Aufgabe rangehen kann?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:54 Mo 20.11.2006 | | Autor: | galileo |
Hallo Fuffi
> Seien [mm]a,b \in \IR[/mm] , [mm]a_{0}=a[/mm], [mm]a_{1}=b[/mm] und rekursiv
> [mm]a_{n+1}=\bruch{1}{2} (a_{n-1}+a_{n}[/mm] ) für [mm]n\geqslant1[/mm]. Man
> Zeige, dass ( [mm]a_{n}[/mm] ) konvergiert und bestimme den Limes.
> Hinweis: Man betrachte zuerst [mm]b_{n}=a_{n+1}-a_{n}[/mm]
> Ich komme da einfach nicht rein in die Aufgabe. Der Tip
> hilft mir auch nicht wirklich weiter. Kann mir vll jemand
> noch einen Tip geben wie ich an die Aufgabe rangehen kann?
[mm]b_n=a_{n+1}-a_n=\bruch{1}{2}\left( a_{n-1}+a_n\right)-a_n
=-\bruch{1}{2}\left( a_n-a_{n-1}\right)=-\bruch{1}{2}b_{n-1}
[/mm]
[mm]
\bruch{b_n}{b_{n-1}}=-\bruch{1}{2}
[/mm] (1)
Wenn wir auf Gleichung (1) Produkt von 1 bis n anwenden, und dann kürzen, erhalten wir:
[mm]
\bruch{b_n}{b_{0}}=\left( -\bruch{1}{2}\right)^n
[/mm]
Wir wenden hier die Definition von [mm]b_n[/mm] an:
[mm]
\bruch{a_{n+1}-a_n}{a_1-a_0}=\left( -\bruch{1}{2}\right)^n
[/mm] (2)
Wir wenden auf Gleichung (2) Summe von 0 bis n an:
[mm]
\bruch{a_{n+1}-a_0}{a_1-a_0}=
\bruch{\left( -\bruch{1}{2}\right)^{n+1} -1}{-\bruch{1}{2}-1}
[/mm] (2)
Du kannst hier direkt limes anwenden.
Versuche das Ganze nachzuvollziehen. Wenn Unklarheiten sind, frage bitte nochmal.
Schöne Grüße, galileo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 Mo 20.11.2006 | | Autor: | Fuffi |
Danke erstmal. Ich habe noch eine Frage zu dem letzten Schritt, den habe ich nicht ganz nachvollziehen können. Wie kommst du an das Ergebnis wenn du die Summe bildest?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:10 Mo 20.11.2006 | | Autor: | galileo |
[mm]
\summe_{i=f}^{n}\left( a_{i+1}-a_i\right)
=a_{f+1}-a_f+a_{f+2}-a_{f+1}+\cdots +a_n-a_{n-1}+a_{n+1}-a_{n}
=a_{n+1}-a_f
[/mm]
In [mm]a_{i+1}[/mm] ersetzt man i durch den oberen Wert (also n), und in [mm]a_i[/mm] ersetzt man i durch den unteren Wert (also f). Diese Regel gilt auch wenn [mm]a_{i+1}\ \mathrm{und}\ a_{i}[/mm] vertauscht sind.
Und rechts hast du folgendes:
[mm]
\summe_{i=f}^{n}q^i=\summe_{i=f}^{n}\bruch{q^i(q-1)}{q-1}
=\summe_{i=f}^{n}\bruch{q^{i+1}-q^i}{q-1}
=\bruch{q^{n+1}-q^f}{q-1}
[/mm]
Hast du es jetzt? 
Schöne Grüße, galileo
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