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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:56 Fr 05.07.2013 | | Autor: | abdul |
Hallo :)
Fogende Reihe ist gegeben:
[mm] \summe_{i=1}^{infinity}\bruch{1}{(k+3)(k+4)}
[/mm]
Zuerst musste ich beweisen, dass für beliebiges n [mm] \ge [/mm] 1 die geschlossene Summenformel gilt:
[mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{(k+3)(k+4)} [/mm] = [mm] \bruch{n}{4(n + 4)}
[/mm]
Das habe ich ohne probleme geschafft. Ich möchte aber prüfen ob die Reihe konvergiert. Wir haben gelernt dass das Quotientenkriterium besagt, dass eine Reihe konvergiert falls:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\vmat{ \bruch{a_{n + 1}}{a_{n}} } [/mm] < 1
[mm] \summe_{i=1}^{infinity}\bruch{1}{(k+3)(k+4)}
[/mm]
So gehe ich vor: (k = n)
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\vmat{ \bruch{a_{n + 1}}{a_{n}} } [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{(n + 4) (n + 5)} [/mm] * [mm] \bruch{(n + 3) (n + 4)}{1}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(n + 3) (n + 4)}{(n + 4) (n + 5)} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(n + 3)}{(n + 5)} [/mm] = 1
Für x = 1 kann ich jedoch keine Aussage machen mit dem Quotientenkriterium. Ist es dann richtig wenn ich wie folgt gehe:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} S_{n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n}{4(n + 4)} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{4(1 + \bruch{n}{4})} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
Da die Reihe einen Grenzwert hat x = [mm] \bruch{1}{4}, [/mm] konvergiert die Reihe für x = [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
Ich hoffe das ist richtig. Ich würde mich auf Tipps sehr freuen. Danke im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hallo :)
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> Fogende Reihe ist gegeben:
> [mm]\summe_{i=1}^{infinity}\bruch{1}{(k+3)(k+4)}[/mm]
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> Zuerst musste ich beweisen, dass für beliebiges n [mm]\ge[/mm] 1
> die geschlossene Summenformel gilt:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{(k+3)(k+4)}[/mm] = [mm]\bruch{n}{4(n + 4)}[/mm]
>
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> Das habe ich ohne probleme geschafft. Ich möchte aber
> prüfen ob die Reihe konvergiert. Wir haben gelernt dass
> das Quotientenkriterium besagt, dass eine Reihe konvergiert
> falls:
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> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\vmat{ \bruch{a_{n + 1}}{a_{n}} }[/mm]
> < 1
>
> [mm]\summe_{i=1}^{infinity}\bruch{1}{(k+3)(k+4)}[/mm]
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> So gehe ich vor: (k = n)
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\vmat{ \bruch{a_{n + 1}}{a_{n}} }[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{(n + 4) (n + 5)}[/mm] *
> [mm]\bruch{(n + 3) (n + 4)}{1}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(n + 3) (n + 4)}{(n + 4) (n + 5)}[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(n + 3)}{(n + 5)}[/mm] = 1
>
> Für x = 1 kann ich jedoch keine Aussage machen mit dem
> Quotientenkriterium.
Hallo,
stimmt.
> Ist es dann richtig wenn ich wie folgt
> gehe:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} S_{n}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n}{4(n + 4)}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{4(1 + \bruch{n}{4})}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{4}[/mm]
>
Ja, das ist richtig.
> Da die Reihe einen Grenzwert hat x = [mm]\bruch{1}{4},[/mm]
> konvergiert die Reihe für x = [mm]\bruch{1}{4}[/mm]
Richtig ist:
die Reihe konvergiert. Sie hat den Grenzwert [mm] \bruch{1}{4}.
[/mm]
Oder kurz und bündig: [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{(k+3)(k+4)}=\bruch{1}{4}.
[/mm]
LG Angela
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> Ich hoffe das ist richtig. Ich würde mich auf Tipps sehr
> freuen. Danke im Voraus.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:00 Fr 05.07.2013 | | Autor: | abdul |
Ich danke Ihnen sehr für Ihre Hilfe und zeit.
Schöne grüße
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