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| Aufgabe | Die monoton wachsende Folge [mm] (a_n) [/mm] ist nach oben beschränkt.
Zeige:
1.) Die Menge [mm] {a_n: n \varepsilon \IN} [/mm] besitzt ein Supremum s.
2.) Es gilt: lim [mm] a_n [/mm] = s |
Hallo,
ich habe mal wieder eine Frage.
Leider habe ich noch gar keinen wirklichen Ansatz zu der Frage. Ich verstehe sie und finde es auch logisch.
Wenn die Folge beschränkt ist, ist auch die Menge [mm] {a_n: n \varepsilon \IN} [/mm] beschränkt, hat demnach auch eine kleinste obere Schranke. Aber wie zeigt man das formal?
Für den Grenzwert gilt das gleiche, ich finde es logisch, kann es aber nicht formal aufschreiben.
Könnt ihr mir einen Denkanstoß geben?
Danke und liebe Grüße!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:48 Mo 17.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Die monoton wachsende Folge [mm](a_n)[/mm] ist nach oben
> beschränkt.
> Zeige:
> 1.) Die Menge [mm]{a_n: n \varepsilon \IN}[/mm] besitzt ein
> Supremum s.
> 2.) Es gilt: lim [mm]a_n[/mm] = s
> Hallo,
>
> ich habe mal wieder eine Frage.
> Leider habe ich noch gar keinen wirklichen Ansatz zu der
> Frage. Ich verstehe sie und finde es auch logisch.
> Wenn die Folge beschränkt ist, ist auch die Menge [mm]{a_n: n \varepsilon \IN}[/mm]
> beschränkt, hat demnach auch eine kleinste obere Schranke.
> Aber wie zeigt man das formal?
Def.: [mm] (a_n) [/mm] heißt beschränkt [mm] \gdw [/mm] { [mm] a_n [/mm] : n [mm] \in \IN [/mm] } ist beschränkt.
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> Für den Grenzwert gilt das gleiche, ich finde es logisch,
> kann es aber nicht formal aufschreiben.
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> Könnt ihr mir einen Denkanstoß geben?
Sei [mm] \epsilon [/mm] > 0. Es ex. N [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] a_N [/mm] > s - [mm] \epsilon [/mm] : Für n > N gilt dann:
s - [mm] \epsilon [/mm] < [mm] a_N \le a_n \le [/mm] s < s+ [mm] \epsilon [/mm] ,
also [mm] |a_n-s| [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] für n>N
FRED
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> Danke und liebe Grüße!
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