Konvergenz monotoner Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] \alpha [/mm] monotone Folge und für alle n [mm] \in \IN [/mm] sei [mm] \alpha_{n} \not= [/mm] 0.
Zu zeigen: [mm] \alpha [/mm] konvergiert oder [mm] \bruch{1}{\alpha} [/mm] konvergiert.
Tipp des Professors: Betrachte auch Folge [mm] (-\alpha). [/mm] |
Erster Ansatz war: Monoton fallende Folge ist Nullfolge. Wie kann man das beweisen? Und was ist dann mit der monoton steigenden Folge? Da müsste ja dann [mm] \bruch{1}{\alpha} [/mm] konvergieren, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:13 Di 18.01.2011 | | Autor: | statler |
Mahlzeit und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Sei [mm]\alpha[/mm] monotone Folge und für alle n [mm]\in \IN[/mm] sei
> [mm]\alpha_{n} \not=[/mm] 0.
> Zu zeigen: [mm]\alpha[/mm] konvergiert oder [mm]\bruch{1}{\alpha}[/mm]
> konvergiert.
> Tipp des Professors: Betrachte auch Folge [mm](-\alpha).[/mm]
> Erster Ansatz war: Monoton fallende Folge ist Nullfolge.
> Wie kann man das beweisen?
Gar nicht, weil es falsch ist. Wenn sie monoton steigend ist und nach oben beschränkt ist, dann konvergiert sie. Wenn sie nicht beschränkt ist, werden die Folgenglieder beliebig groß, und dann sind die Kehrwerte monoton fallend und positiv, also durch 0 beschränkt, konvergieren also.
Wenn sie monoton fallend, gilt eine ähnliche Argumentation oder du betrachtest wie geraten [mm] (-a_n).
[/mm]
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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