Konvergenz mit Cos / Sin < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Prüfen Sie auf Konvergenz / Divergenz:
[mm] \summe_{}^{} [/mm] cos( [mm] \bruch{(-1)^k}{k} [/mm] ) |
Hallo, hoffe ihr könnt mir helfen.
Das cosinus verwirrt mich hier..
Denn auf den Wert in der Klammer kann ich Leibnitz anwenden... Es handelt sich um eine alternierende Nullfolge.
Somit ist der Wert in klammern konvergent.
Aber was mache ich nun mit dem Cos ?
Und was währe, wenn dort ein Sin stände ?
Lg,
steffi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:30 Sa 02.02.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Steffi!
Handelt es sich hier um den Grenzwert für [mm] $k\rightarrow\infty$ [/mm] ?
Dann musst Du bedenken, dass Du hier lediglich eine Folge [mm] $a_k$ [/mm] (und nicht eine Reihe = Summierung von Folgengliedern) vorliegen hast. Von daher ist hier Herr Leibniz fehl am Platze.
Welchen Grenzwert hat denn [mm] $\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{(-1)^k}{k}$ [/mm] ?
Und von diesem Grenzwert mal den entsprechenden [mm] $\cos$-Wert [/mm] nehmen.
Gruß
Loddar
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> Prüfen Sie auf Konvergenz / Divergenz:
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> cos( [mm]\bruch{(-1)^k}{k}[/mm] )
> Hallo, hoffe ihr könnt mir helfen.
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> Das cosinus verwirrt mich hier..
>
> Denn auf den Wert in der Klammer kann ich Leibnitz
> anwenden... Es handelt sich um eine alternierende
> Nullfolge.
> Somit ist der Wert in klammern konvergent.
>
> Aber was mache ich nun mit dem Cos ?
> Und was währe, wenn dort ein Sin stände ?
Gegen was konvergiert denn [mm] \bruch{(-1)^k}{k}? [/mm]
Was passiert im Grenzwert für Cosinus? - Also wie schaut der Funktionwert aus, gegen den dieser dann strebt?
Zeichnung machen und mal schnell düber nachdenken! 
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Ich sehe ich habe das Summenzeichen vergessen :(
Das ganze ist
[mm] \summe_{}^{} cos(\bruch{(-1)^k}{k})
[/mm]
Aje, jetzt wo ich drübershaue bin ich mir wieder nicht mehr sicher mit leibnitz :(
Also entweder ich wende Leibnitz an oder:
| [mm] \bruch{(-1)^k}{k} [/mm] | [mm] \le \bruch{1}{k}
[/mm]
und [mm] \bruch{1}{k} [/mm] ist die harmonische Reihe , welche divergent ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:42 Sa 02.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Mach mal nen Spaziergang, du hast zu lange vor Aufgaben gesessen!
Reihe ist hier nicht, nur Folge! und 1/k spaziert ganz gemütlich gegen 0 wenn k immer größer wird.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:45 Sa 02.02.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Steffi!
Okay, handelt es sich doch um eine Reihe. Gegen welchen Wert strebt denn nun [mm] $\limes_{k\rightarrow\infty}\cos\left[\bruch{(-1)^k}{k}\right]$ [/mm] ?
Ist damit das notwendige Kriterium für Reihenkonvergenz erfüllt?
Gruß
Loddar
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Ich bin mir nun wie gesagt garnicht sicher ob ich Leibnitz verwenden soll...
Denn:
mit leibnitz habe ich eine alternierende Nullfolge und das ganze ist somit konvergent...
D.h. ich habe dann dort cos(0) und das ist 1.
aber ich kann ja auch gegen die harmonische reihe [mm] \bruch{1}{k} [/mm] abschätzen:
| [mm] Cos(\bruch{(-1)^k}{k}) [/mm] | [mm] \le \bruch{1}{k}
[/mm]
Was ist denn nun richtig und warum?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:12 Sa 02.02.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Steffi!
[mm] $\bruch{(-1)^k}{k}$ [/mm] ist eine alternierende Nullfolge, jedoch nicht [mm] $\red{\cos}\left(\bruch{(-1)^k}{k}\right)$ [/mm] !
Von daher ist hier Herr Leibniz nicht anwendbar!
Und da auch gilt [mm] $\limes_{k\rightarrow\infty}\cos\left(\bruch{(-1)^k}{k}\right) [/mm] \ = \ [mm] \cos(0) [/mm] \ = \ 1$ , ist auch die Abschätzung zur harmonischen Reihe verkehrt. (Zudem hilft Dir bei Reihen ein Abschätzung nach oben durch die harmonische Reihe nie weiter ...)
Da [mm] $\cos\left(\bruch{(-1)^k}{k}\right)$ [/mm] keine Nullfolge ist, heißt das nun für die Reihe ...?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:22 Sa 02.02.2008 | | Autor: | Steffi1988 |
habs nun kapiert :)
Das ganze ist somit divergent... :)
dankeschöööön
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:42 Sa 02.02.2008 | | Autor: | MrFair |
Da du wohl auch etwas durch [mm] (-1)^k [/mm] fehlgeleitet wurdest, auch noch ein kleiner Tipp von mir:
[mm] (-1)^k [/mm] bewegt sich für alle k nur zwischen 2 Werten! Überleg dir einfach, was mit [mm] (-1)^k [/mm] für gerade und für ungerade k passiert.
Dann sollte es dir sehr leicht fallen den Grenzwert der Folge [mm] \bruch{(-1)^k}{k} [/mm] per Schachtelsatz herauszufinden.
Diesen kannst du dann (Achtung, sehr lockere Formulierung) einfach in den Cosinus einsetzen und dann den eigentlichen Grenzwert berechnen.
/Edit: Oh, da hat sich wohl was an der Aufgabenstellung geändert. Ich hatte meine Nachricht verfasst, als du diese noch nicht gepostet hast, meine Antwort wird die also wohl auch nicht mehr viel nützen. Aber für mich sieht das nun stark nach eine Funktionenfolge aus. Habt ihr das Thema denn schon gehabt?
(Außer natürlich, der Summationsindex ist nicht k! Du hast ihn ja leider nicht angegeben. Dann wäre es eine ganz "normale" Reihe und Loddar hat dir da ja schon einen sehr guten Tipp gegeben!) Sollte es also eine Funktionenreihe sein, kannst du ja immer noch das "Majorantenkriterium für Funktionenreihen" anwenden und hättest damit die gleichmäßige Konvergenz.
Aber das soll lieber jemand mit mehr Erfahrung überprüfen. Das Thema hatte ich selbst erst vor kurzem.
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| Aufgabe | [mm] \summe_{}^{} exp(-\wurzel{k}
[/mm]
[mm] \summe_{}^{} \bruch{1}{log(k^2)} [/mm] , log ist zur basis e |
habe noch die zwei oben vor mir...
zur ersten weiß ich nur wie sie aussieht...
Sie ist konvergent ung geht langsam gegen null.
Aber wie beweise ich es ? Also welches Kriterium würde ich da nehmen?
zur zweiten: Als Folge geht das ganze gegen Null... Nun trau ich mich aber nicht gegen die harmonische Reihe abzuschätzen..
Weil dies - zitat von dem beitrag oben - nicht sinnvoll ist :)
Danke,
steffi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:17 Sa 02.02.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
zur ersten kannst du eine konvergente Majorante finden: [mm] a_n:=exp(-\sqrt{k})=\frac{1}{e^\sqrt{k}}
[/mm]
Nun, du weist, dass [mm] e^x [/mm] ziemlich schnell wächst, und mit Sicherheit schneller als [mm] n^2. [/mm] Selbst wenn du jetzt noch die Wurzel von x nimmst bei [mm] e^x [/mm] ist das größer als [mm] x^2. [/mm] Somit weist du, dass [mm] 1/k^2 [/mm] größer ist als dein [mm] a_n [/mm] für große n, und damit hast du eine konvergente Majorante gefunden.
Bei der zweiten weist du, dass du dein [mm] \frac{1}{ln(k^2}=\frac{1}{2ln(k)} [/mm] so aussehen kann.
Dann nützt es zu wissen, dass ln(k)<k ab einem gewissem k, und das kannst du dann umstellen:
1<k/ln(k) [mm] \gdw [/mm] 1/k < 1/ln(k) . Also hast du mit [mm] \sum1/k [/mm] eine divergente Minorante gefunden.
Da ist es dann sinnvoll mit der harm. abzuschätzen, weil die divergente Reihe als kleinere Reihe hast, und nur dann kannst du Divergenz zeigen. Wenn jetzt gelten würde, dass dein [mm] a_n [/mm] < 1/n , dann hast du damit keine Aussage, weil du dann nur weist, dass [mm] a_n [/mm] noch unter der unendlichen Summe bleibt. Es kann dann aber trotzdem unendlich sein.
LG
Kroni
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