Konvergenz in Wsk < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien [mm](X_n)_{n\in\IN},X,(Y_n)_{n\in\IN},Y[/mm] (Folgen von) ZV und gelte:
[mm]X_n\longrightarrow X[/mm] in Wsk und [mm]Y_n\longrightarrow Y[/mm] in Wsk.
Dann gilt: [mm]X_n+Y_n\longrightarrow X+Y[/mm] in Wsk. |
Hallo zusammen,
zu zeigen ist, dass [mm]P(|X_n+Y_n-(X+Y)|>\varepsilon)\to 0[/mm] für bel. [mm]\varepsilon>0[/mm]
Also: [mm]P(|X_n+Y_n-(X+Y)|>\varepsilon) \ \red{\le} \ P(|X_n-X|>\varepsilon/2) \ + \ P(|Y_n-Y|>\varepsilon/2)[/mm]
Wie genau erklärt sich das [mm]\red{\le}[/mm] ?
Irgendwie wird eine Dreiecksungleichung für Mengen angewendet ...
Ist denn [mm]\{\omega\in\Omega:|(X_n+Y_n)(\omega)-((X+Y)(\omega))|>\varepsilon\} \ \subset \ \{\omega\in\Omega:|X_n(\omega)-X(\omega)|>\varepsilon/2 \ \vee \ |Y_n(\omega)-Y(\omega)|>\varepsilon/2\}[/mm] ?
Oder wie genau erklärt sich da eine Teilemgenbeziehung, die dann wegen der Monotonie des Maßes das [mm]\red{\le}[/mm] impliziert?
Gruß
schachuzipus
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Hallo,
Ja es wird benutzt, das gilt:
$ [mm] \{\omega\in\Omega:|(X_n+Y_n)(\omega)-((X+Y)(\omega))|>\varepsilon\} [/mm] \ [mm] \subset [/mm] \ [mm] \{\omega\in\Omega:|X_n(\omega)-X(\omega)|>\varepsilon/2 \ \vee \ |Y_n(\omega)-Y(\omega)|>\varepsilon/2\} [/mm] $.
Dies zeigt man so:
Es ist für [mm] $\varepsilon>0$\\
[/mm]
[mm] $\{ \left|Y_{n}-Y\right|\leq \frac{\varepsilon}{2}\} \cap \{ \left|X_{n}-X\right|\leq \frac{\varepsilon}{2}\} \subseteq \{ \left| \left(X_{n}+Y_{n}\right)-\left(X+Y\right)\right|\leq \varepsilon \}$ [/mm]
Durch Komplementbildung zeigt man das gewünschte. Der Rest ist ja einfach noch Anwendung der Monotonie und Subadditivität des Maßes $P$
Viele Grüße
Blasco
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Hallo Blasco,
vielen Dank für deine Antwort!
Gruß
schachuzipus
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