Konvergenz in Verteilung < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:43 Do 09.02.2012 | | Autor: | kalor |
Hallo zusammen
Wir haben in einer Vorlesung Konvergenz in Verteilung behandelt. Nun soll ich ein paar kleine Dinge als Hausaufgabe zeigen. Einiges konnte ich bereits, bei einer Frage bin ich mir aber nicht sicher, warum dies gilt:
Nehmen wir an, wir haben eine Folge [mm] $(\mu_n)$ [/mm] von Verteilungen und diese konvergiere in Verteilung gegen eine Verteilung [mm] $\mu$, [/mm] d.h.
$$ [mm] \lim_n F_n(y)=F(y) [/mm] $$
für alle Stetigkeitspunkte [mm] $y\in \IR$ [/mm] von $ F$, wobei [mm] $F_n$ [/mm] die Verteilungsfunktion von [mm] $\mu_n$ [/mm] ist und $F$ von [mm] $\mu$. [/mm] Nun soll unmittelbar aus der Definition von Konvergenz in Verteilung folgendes gezeigt werden
Wenn [mm] $(\mu_n)$ [/mm] in Verteilung gegen [mm] $\mu$ [/mm] konvergiert, dann gilt für alle $c > 0$
$$ [mm] \limsup_n \mu_n [/mm] (|x| [mm] \ge [/mm] c) [mm] \le \mu(|x| \ge [/mm] c)$$
Wieso gilt dies ?
Meine Überlegungen so weit:
$$ [mm] \mu_n [/mm] (|x| [mm] \ge [/mm] c) = [mm] F_n(-c) [/mm] + [mm] (1-F_n(c))$$
[/mm]
Nun habe ich argumentiert: Wenn $c$ und $-c$ Stetigkeitspunkte von $F$ ist, dann kann ich oben den Limes bilden und erhalte Gleichheit. Naja wenn $ c $ oder $-c$ (oder beide) Unstetigkeitsstellen sind, dann muss ich irgendwie [mm] $F_n$ [/mm] durch $F$ abschätzen können. Leider weiss ich nicht wie das gehen soll. Vielleicht sind meine Überlegugnen auch total falsch.
Ich wäre also echt dankbar für Hilfe!
KalOR
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(Frage) überfällig | | Datum: | 11:39 Mo 13.02.2012 | | Autor: | kalor |
Hallo zusammen
Ich habe nun eine neue Version und würde gerne wissen, ob der Beweis stimmt.
Wenn ich weiss, dass [mm] $\mu_n$ [/mm] schwach gegen [mm] $\mu$ [/mm] konvergiert, dann gibt es einen Satz, der sagt: Es existieren Zfv. [mm] $X_n$ [/mm] und $X$ so dass [mm] $X_n$ [/mm] P-f.s. gegen $X$ konvergiert und [mm] $\mu_n$ [/mm] die Verteilung von [mm] $X_n$ [/mm] und [mm] $\mu$ [/mm] von $X$. Also gilt doch:
$$ [mm] \mu_n(|x| \ge [/mm] c ) = [mm] P(|X_n(\omega)| \ge [/mm] c) = [mm] E(\mathbf1_{\{|X_n|\ge c\}} [/mm] )$$
Also gilt ja insbesondere
[mm]\lim \mu_n(|x| \ge c ) = \lim P(|X_n(\omega)| \ge c) = \lim E(\mathbf1_{\{|X_n|\ge c\}}) = E(\mathbf1_{\{|X|\ge c\}}) = \mu (|x| \ge c)[/mm]
Aufgrund von dominierter Konvergenz. Damit folgt doch die Aussage?
Stimmt dieser Beweis?
Gruss
KaloR
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:21 Do 15.03.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 So 11.03.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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