Konvergenz in L^1 < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:28 Mi 03.02.2016 | | Autor: | DesterX |
Hallo zusammen,
ich stehe vor folgender Frage: Ich schau mir eine Funktionenfolge [mm] $f_n \in L^1(\mathbb{R})$ [/mm] und eine Funktion $f [mm] \in L^1(\mathbb{R})$ [/mm] an und nehme an, dass
[mm] $f_n \rightarrow [/mm] f$ in [mm] L^1, [/mm] das heißt
[mm] $\int |f_n(x)- [/mm] f(x)| dx [mm] \rightarrow [/mm] 0$ für [mm] $n\rightarrow \infty$.
[/mm]
Ich frage mich, ob daraus
[mm] $\int (f_n(x) [/mm] - f(x)) dx [mm] \rightarrow [/mm] 0$ für [mm] $n\rightarrow \infty$ [/mm] folgt (dh ohne die Beträge).
Falls ja, wie könnte man das beweisen?
(Schließlich ist lediglich
[mm] $\int (f_n(x) [/mm] - f(x)) dx [mm] \leq \int |f_n(x)- [/mm] f(x)| dx$
offensichtlich).
Jedoch fällt mir spontan auch kein Gegenbeispiel zu obiger Aussage ein.
Würde mich sehr über eure Hilfe freuen.
Grüße
Dester
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:46 Mi 03.02.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen,
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> ich stehe vor folgender Frage: Ich schau mir eine
> Funktionenfolge [mm]f_n \in L^1(\mathbb{R})[/mm] und eine Funktion
> [mm]f \in L^1(\mathbb{R})[/mm] an und nehme an, dass
> [mm]f_n \rightarrow f[/mm] in [mm]L^1,[/mm] das heißt
> [mm]\int |f_n(x)- f(x)| dx \rightarrow 0[/mm] für [mm]n\rightarrow \infty[/mm].
>
> Ich frage mich, ob daraus
> [mm]\int (f_n(x) - f(x)) dx \rightarrow 0[/mm] für [mm]n\rightarrow \infty[/mm]
> folgt (dh ohne die Beträge).
> Falls ja, wie könnte man das beweisen?
> (Schließlich ist lediglich
> [mm]\int (f_n(x) - f(x)) dx \leq \int |f_n(x)- f(x)| dx[/mm]
Es gilt doch die Dreiecksungleichung für Integrale:
[mm]|\int (f_n(x) - f(x)) dx| \leq \int |f_n(x)- f(x)| dx[/mm]
Aus
$ [mm] \int |f_n(x)- [/mm] f(x)| dx [mm] \rightarrow [/mm] 0 $ für $ [mm] n\rightarrow \infty [/mm] $
folgt dann
[mm] $|\int (f_n(x) [/mm] - f(x)) dx| [mm] \rightarrow [/mm] 0 $ für $ [mm] n\rightarrow \infty [/mm] $
und damit
[mm] $\int (f_n(x) [/mm] - f(x)) dx [mm] \rightarrow [/mm] 0 $ für $ [mm] n\rightarrow \infty [/mm] $
FRED
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> offensichtlich).
> Jedoch fällt mir spontan auch kein Gegenbeispiel zu obiger
> Aussage ein.
> Würde mich sehr über eure Hilfe freuen.
> Grüße
> Dester
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:14 Mi 03.02.2016 | | Autor: | DesterX |
Danke Fred!
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