Konvergenz geometrisches Mitte < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei [mm] (x_{n}) [/mm] mit [mm] x_{n}>0 [/mm] eine konvergente Folge. Dann konvergiert auch stets die Folge [mm] (\wurzel[n]{x_{1}*x_{2}*...*x_{n}}) [/mm] ihrer geometrischen Mittel und besitzt den gleichen Grenzwert. |
Bereits beweisen wurde, dass sowohl das harmonische als auch das arithmetische Mittel gegen den Grenzwert der Folge konvergieren. Nun gibt es ja die bekannte Ungleichung:
harmonisches Mittel [mm] \le [/mm] geometrisches Mittel [mm] \le [/mm] arithmetisches Mittel
Meine Frage lautet eigentlich nur kurz und knapp, ob man nun über Sandwich Theorem für Konvergenz einfach schließen kann, dass auch das geometrische Mittel gegen diesen Grenzwert konvergiert.
Weil durch die Ungleichung haben wir ja theoretisch eine Abschätzung nach oben und nach unten, die jeweils gegen denselben Grenzwert konvergieren.
Ich bedanke mich schon im voraus
LG Lernender
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Lernender,
Wenn ihr das tatsächlich schon zeigen musstet, ist das ein sehr schöner Weg.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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