Konvergenz gegen Funktion < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei [mm] f_{n}(x) [/mm] := [mm] (-1)^{n}\bruch{cos(nx)}{n^{2}} [/mm] (n [mm] \in\IN). [/mm] Zeige [mm] \summe_{n=1}^{\infty}f_{n}(x) [/mm] konvergiert für alle [mm] x\in \IR [/mm] gleichmäßig gegen eine Funktion f |
Könnte ich die Konvergenz nicht mit dem Majorantenkrit. zeigen? Ich schätze einfach |cos(nx)| <= 1 ab und die neue Reihe konvergiert dann nach Leibniz.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:33 Di 12.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]f_{n}(x)[/mm] := [mm](-1)^{n}\bruch{cos(nx)}{n^{2}}[/mm] (n [mm]\in\IN).[/mm]
> Zeige [mm]\summe_{n=1}^{\infty}f_{n}(x)[/mm] konvergiert für alle
> [mm]x\in \IR[/mm] gleichmäßig gegen eine Funktion f
> Könnte ich die Konvergenz nicht mit dem Majorantenkrit.
> zeigen? Ich schätze einfach |cos(nx)| <= 1 ab
Gute Idee: dann bekommst Du : [mm] $|f_n(x)| \le 1/n^2$ [/mm] auf [mm] \IR.
[/mm]
Jetzt verwende das Weierstraßsche Kriterium:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Weierstraßscher_M-Test
FRED
> und die neue
> Reihe konvergiert dann nach Leibniz.
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Ok, dass mit der Konvergenz ist nunklar. Wie schaut das aber mit der Stetigkeit von f aus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:50 Di 12.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ok, dass mit der Konvergenz ist nunklar. Wie schaut das
> aber mit der Stetigkeit von f aus?
Die Grenzfunktion f ist stetig, weil alle [mm] f_n [/mm] stetig sind und die Konvergenz glm. ist (Satz aus der Vorlesung !!)
FRED
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Vielen Dank für deine Hilfe.
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