Konvergenz einer reellen Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Beweise die folgende Grenzwertaussage: [mm] \sqrt{9n^2+2n+1}-3n \rightarrow \frac{1}{3} [/mm] |
Hallo liebes Forum,
an o.g. Aufgabe sitze ich nun schon eine Weile, und ich würde mich sehr über einen hilfreichen Tipp freuen. "Erweitere" ich den o.g. Ausdruck wie folgt:
[mm] \sqrt{9n^2+2n+1}-3n \cdot \frac{\sqrt{9n^2+2n+1}+3n}{\sqrt{9n^2+2n+1}+3n}
[/mm]
so erhalte ich nach einigem Kürzen den folgenden Ausdruck:
[mm] \frac{2n+1}{\sqrt{9n^2+2n+1}+3n}
[/mm]
Mir ist jedoch nicht klar, wie ich nun auf den Grenzwert [mm] \frac{1}{3} [/mm] komme (der zu stimmen scheint, wie ich mit dem Taschenrechner kontrolliert habe ...). Ich habe versucht, das n aus Zähler und Nenner "herauszuziehen":
[mm] \frac{n(2+\frac{1}{n})}{n(\frac{\sqrt{9n^2+2n+1}}{n}+3)}
[/mm]
aber dann bleibt im Zähler [mm] 2+\frac{1}{n} [/mm] stehen, was gegen 2 konvergiert. Und der Nenner sieht dann auch nicht mehr so toll aus ... :-/
Kann mir jemand einen Hinweis geben?
Vielen Dank im Voraus! 
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> Beweise die folgende Grenzwertaussage: [mm]\sqrt{9n^2+2n+1}-3n \rightarrow \frac{1}{3}[/mm]
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> Hallo liebes Forum,
hallo 
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> an o.g. Aufgabe sitze ich nun schon eine Weile, und ich
> würde mich sehr über einen hilfreichen Tipp freuen.
> "Erweitere" ich den o.g. Ausdruck wie folgt:
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> [mm]\sqrt{9n^2+2n+1}-3n \cdot \frac{\sqrt{9n^2+2n+1}+3n}{\sqrt{9n^2+2n+1}+3n}[/mm]
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> so erhalte ich nach einigem Kürzen den folgenden
> Ausdruck:
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> [mm]\frac{2n+1}{\sqrt{9n^2+2n+1}+3n}[/mm]
>
> Mir ist jedoch nicht klar, wie ich nun auf den Grenzwert
> [mm]\frac{1}{3}[/mm] komme (der zu stimmen scheint, wie ich mit dem
> Taschenrechner kontrolliert habe ...). Ich habe versucht,
> das n aus Zähler und Nenner "herauszuziehen":
>
> [mm]\frac{n(2+\frac{1}{n})}{n(\frac{\sqrt{9n^2+2n+1}}{n}+3)}[/mm]
[mm] =\frac{n*(2+\frac{1}{n})}{n*(\sqrt{9+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}+3)}
[/mm]
hier dann das n kürzen.. mit n-> [mm] \infty [/mm] bleibt die 2 im zähler, und im nenner [mm] \sqrt9 [/mm] + 3
>
> aber dann bleibt im Zähler [mm]2+\frac{1}{n}[/mm] stehen, was gegen
> 2 konvergiert. Und der Nenner sieht dann auch nicht mehr so
> toll aus ... :-/
>
> Kann mir jemand einen Hinweis geben?
>
> Vielen Dank im Voraus!
mfg tee
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Hallo,
danke erstmal für die Antwort. Allerdings habe ich diese noch nicht verstanden. Wenn ich den von Dir umgeformten Ausdruck betrachte:
[mm] \frac{n\cdot{}(2+\frac{1}{n})}{n\cdot{}(\sqrt{9+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}+3)}
[/mm]
dann ist im Nenner nun ein [mm] n^2 [/mm] ausgeklammert und somit ein n "verschluckt" worden. Demnach würde ja die Folge gegen [mm] \frac{2}{\sqrt{9}+3} [/mm] konvergieren, aber die Folge konvergiert gegen [mm] \frac{1}{3} [/mm] ??
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> Demnach würde ja die Folge gegen
> [mm]\frac{2}{\sqrt{9}+3}[/mm] konvergieren, aber die Folge
> konvergiert gegen [mm]\frac{1}{3}[/mm] ??
Hey, was ergibt denn [mm] \sqrt{9} [/mm] ?
Dies und den Rest der Vereinfachung solltest du
übrigens auch ohne Taschenrechner schaffen ...
LG
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> Hallo,
> danke erstmal für die Antwort. Allerdings habe ich diese
> noch nicht verstanden. Wenn ich den von Dir umgeformten
> Ausdruck betrachte:
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> [mm]\frac{n\cdot{}(2+\frac{1}{n})}{n\cdot{}(\sqrt{9+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}+3)}[/mm]
>
> dann ist im Nenner nun ein [mm]n^2[/mm] ausgeklammert und somit ein
> n "verschluckt" worden. Demnach würde ja die Folge gegen
> [mm]\frac{2}{\sqrt{9}+3}[/mm] konvergieren, aber die Folge
> konvergiert gegen [mm]\frac{1}{3}[/mm] ??
im nenner wurde n ausgeklammert (was INNERHALB der wurzel ein ausklammern von [mm] n^2 [/mm] entspricht) . zur erinnerung/bzw als beispiel:
[mm] \sqrt{1+n^2}=\sqrt{n^2*(\frac{1}{n^2}+1)}=|n|*\sqrt{\frac{1}{n^2}+1}. [/mm] betrag kann dann weggelassen werden, weils ja gegen [mm] +\infty [/mm] läuft und somit positiv ist
mit dem grenzwert hatte al ja schon geschrieben
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Hallo Ihr beiden,
ich habe es (endlich) verstanden, danke für Eure Antworten! Da habe ich wohl glatt vor lauter Bäumen den Wald nicht gesehen, Asche auf mein Haupt ...! :-/
Danke auch fencheltee, für das erklärende Beispiel am Schluss! Das hat mir weitergeholfen, die Sache mit dem ausgeklammerten n schneller zu verstehen
Viele Grüße!
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