Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:30 Sa 12.01.2013 | | Autor: | Sauri |
| Aufgabe | Folgende Reihe soll auf Konvergenz geprüft werden.
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{x^k}{\wurzel{k+2}} [/mm] |
Die o. g. Reihe konvergiert für |x| < 1. Zeige ich in diesem Fall die Konvergenz formal mit dem Majorantenkriterium?
vielen Dank für die Hilfe!
EDIT: Summationsindex korrigiert. (Helbig)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:58 Sa 12.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Folgende Reihe soll auf Konvergenz geprüft werden.
>
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty} \bruch{x^k}{\wurzel{k+2}}[/mm]
Du meinst sicher
[mm] $$\summe_{\red{k}=0}^{\infty} \bruch{x^k}{\wurzel{k+2}}\;\text{ .}$$
[/mm]
> Die o. g.
> Reihe konvergiert für |x| < 1. Zeige ich in diesem Fall
> die Konvergenz formal mit dem Majorantenkriterium?
Das kannst Du natürlich tun (geometrische Reihe als obere Schranke) -
wobei Du - genau gesagt - dann [mm] $\summe_{k=0}^{\infty} \red{|}\bruch{x^k}{\wurzel{k+2}}\red{|}$ [/mm] mit [mm] $\summe_{k=0}^{\infty} \red{|}x\red{|}^k$ [/mm] vergleichst,
und dann die absolute Konvergenz der Reihe für $|x| < [mm] 1\,$ [/mm] beweist, welche
dann aber insbesondere die Konvergenz der Reihe für [mm] $|x|<1\,$ [/mm] nach sich zieht.
Ich würde aber direkt das Wurzelkriterium bemühen, denn dann weißt Du
auch direkt, dass die Reihe auch für $|x| > [mm] 1\,$ [/mm] divergiert (das geht alles
auch mit dem Quotientenkriterium) - und die Fälle [mm] $x=1\,$ [/mm] (dann divergiert
die Reihe - finde eine divergente Minorante) bzw. [mm] $x=\;-\;1$ [/mm] (dann
konvergiert die Reihe - Leibniz!) kannst Du dann auch noch separat
betrachten und hast für sogar alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] das Konvergenzverhalten
der Reihe untersucht!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:49 Di 15.01.2013 | | Autor: | Sauri |
Hallo vielen Dank für die Antwort. Wir haben komischerweise kein Wurzelkriterium gemacht. Ich werde deswegen, das Quotientenkriterium bemühen.
Vielen Dank und viele Grüße!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:47 Di 15.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo vielen Dank für die Antwort. Wir haben
> komischerweise kein Wurzelkriterium gemacht. Ich werde
> deswegen, das Quotientenkriterium bemühen.
habt ihr das Quotientenkriterium (QK) denn auch bewiesen, oder nur formuliert
(wobei ich mir darüber im Klaren bin, dass man das QK auch direkt mit der
geometrischen Reihe beweisen kann).
P.S. Einfach mal der Vollständigkeit wegen, damit Du's gesehen hast: In
![[]](/images/popup.gif) Kapitel 6 (klick!) findest Du das WK und das QK...
Gruß,
Marcel
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