Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:05 Fr 17.06.2011 | | Autor: | Physy |
| Aufgabe | Für welche z [mm] \in \IC [/mm] konvergiert die folgende Reihe:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{k}}{(2k)!}*z^{2k} [/mm] |
Alle Kriterien, welche Monotonie voraussetzen bringen hier ja nichts, da es eine komplexe Reihe ist. Auch das Quotienten- und Wurzelkriterium greifen hier nicht, da ich mit diesen Kriterien ja nur herausfinde, ob die Reihe überhaupt konvergiert. Wie könnte ich noch vorgehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:34 Fr 17.06.2011 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Für welche z [mm]\in \IC[/mm] konvergiert die folgende Reihe:
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{k}}{(2k)!}*z^{2k}[/mm]
> Alle Kriterien, welche Monotonie voraussetzen bringen hier
> ja nichts, da es eine komplexe Reihe ist.
Das stimmt so nicht, weil du ja mit den Beträgen hantierst.
> Auch das
> Quotienten- und Wurzelkriterium greifen hier nicht, da ich
> mit diesen Kriterien ja nur herausfinde, ob die Reihe
> überhaupt konvergiert.
Tun sie doch, jedenfalls das Quotientenkriterium. Schreib es einfach mal hin und betrachte den Quotienten, besser noch seinen Betrag.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:56 Fr 17.06.2011 | | Autor: | Physy |
Wenn ich den Quotienten gemäß dem Quotientenkriterium bilde, dann habe ich zum schluss Folgendes stehen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{|z|^{2}}{(2k+1)(2k+2)}) [/mm] = [mm] |z|^{2}*\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{(2k+1)(2k+2)}) [/mm] . Also konvergiert die Reihe für alle z, gemäß dem Quotientenkriterium. Stimmt das denn?
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Hallo,
> Wenn ich den Quotienten gemäß dem Quotientenkriterium
> bilde, dann habe ich zum schluss Folgendes stehen:
>
> [mm]\limes_{\red{n}\rightarrow\infty}(\bruch{|z|^{2}}{(2k+1)(2k+2)})[/mm] = [mm]|z|^{2}*\limes_{\red{n}\rightarrow\infty}(\bruch{1}{(2k+1)(2k+2)})[/mm]
Na, eher [mm]\lim\limits_{\red{k}\to\infty}[/mm]
> . Also konvergiert die Reihe für alle z, gemäß dem
> Quotientenkriterium. Stimmt das denn?
Ja, stimmt!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:25 Fr 17.06.2011 | | Autor: | Physy |
Ich müsste aber noch zeigen, dass [mm] \bruch{1}{(2k+1)(2k+2)} [/mm] konvergiert. Aber es gilt ja:
0 [mm] \le \bruch{1}{(2k+1)(2k+2)} \le \bruch{1}{k} \Rightarrow [/mm] 0 und [mm] \bruch{1}{k} [/mm] konvergieren gegen 0 [mm] \Rightarrow [/mm] gemäß dem Quetschlemma konvergiert dann auch [mm] \bruch{1}{(2k+1)(2k+2)} [/mm] gegen Null. Ist das eine korrekte Anwendung des Quetschlemmas?
Das ist auch die letzte Frage, dann höre ich auf. Und danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:35 Fr 17.06.2011 | | Autor: | statler |
> Ich müsste aber noch zeigen, dass [mm]\bruch{1}{(2k+1)(2k+2)}[/mm]
> konvergiert. Aber es gilt ja:
>
> 0 [mm]\le \bruch{1}{(2k+1)(2k+2)} \le \bruch{1}{k} \Rightarrow[/mm]
> 0 und [mm]\bruch{1}{k}[/mm] konvergieren gegen 0 [mm]\Rightarrow[/mm] gemäß
> dem Quetschlemma konvergiert dann auch
> [mm]\bruch{1}{(2k+1)(2k+2)}[/mm] gegen Null. Ist das eine korrekte
> Anwendung des Quetschlemmas?
Je nach Semesterzahl und Muttersprache ist das auch mit 'trivial' oder 'obvious' oder 'Das sieht man mit bloßem Auge.' zu erledigen.
Ciao
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:43 Fr 17.06.2011 | | Autor: | Physy |
Unser Übungsleiter hat mal gesagt: "Im ersten Semester sieht man noch nichts!" Trotzdem danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:51 Fr 17.06.2011 | | Autor: | statler |
Das ist in der Regel auch so.
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