Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Man studiere die Konvergenz der Funktionenreihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty} (-1)^{n} \bruch{x^{3n+3}}{(8n^{2} +n)} [/mm] |
Mir ist klar dass ich das Leipnizkriterium anwenden muss da es sich hier um eine alternierende Reihe handelt.
Gut als nächstes muss ich dann beweisen dass das Ding eine monoton fallende Nullfolge ist. Wenn ja konvergent! Soweit so gut!
Wenn ich jetzt aber den Term hernehme und sage ich suche jetzt einmal den [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{x^{3n+3}}{(8n^{2} +n)} [/mm] dann steh ich aber schon wieder an, da ich nicht weiß wie ich mit dem oberen Term umgehen soll?
Was soll das x da?. Ich weiß ja nicht welchen Wert das hat, wenn ich jetzt sage das ist irgendwas größer 1 dann wird der obere Term für n gegen unendlich auch gegen unendlich gehen, aber wenn er kleiner 1 ist dann wird der obere Wert gegen 0 gehen.
Bitte um Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:00 Di 01.03.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Man studiere die Konvergenz der Funktionenreihe
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} (-1)^{n} \bruch{x^{3n+3}}{(8n^{2} +n)}[/mm]
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> Mir ist klar dass ich das Leipnizkriterium anwenden muss da
> es sich hier um eine alternierende Reihe handelt.
> Gut als nächstes muss ich dann beweisen dass das Ding
> eine monoton fallende Nullfolge ist. Wenn ja konvergent!
> Soweit so gut!
> Wenn ich jetzt aber den Term hernehme und sage ich suche
> jetzt einmal den [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{x^{3n+3}}{(8n^{2} +n)}[/mm]
> dann steh ich aber schon wieder an, da ich nicht weiß wie
> ich mit dem oberen Term umgehen soll?
> Was soll das x da?. Ich weiß ja nicht welchen Wert das
> hat, wenn ich jetzt sage das ist irgendwas größer 1 dann
> wird der obere Term für n gegen unendlich auch gegen
> unendlich gehen, aber wenn er kleiner 1 ist dann wird der
> obere Wert gegen 0 gehen.
Richtig. Das ist der Punkt: die Konvergenz hängt vom Wert von x ab. Wie du ganz richtig festgestellt hast, ist der Limes für $x<1$ gleich 0. Da es sich um eine monoton fallende Folge handelt, konvergiert die Reihe nach dem Leibnizkriterium. Was kannst du für die Fälle $x>1$ und $x=1$ aussagen?
Viele Grüße
Rainer
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Hallo
> Richtig. Das ist der Punkt: die Konvergenz hängt vom Wert
> von x ab. Wie du ganz richtig festgestellt hast, ist der
> Limes für [mm]x<1[/mm] gleich 0. Da es sich um eine monoton
> fallende Folge handelt, konvergiert die Reihe nach dem
> Leibnizkriterium. Was kannst du für die Fälle [mm]x>1[/mm] und
> [mm]x=1[/mm] aussagen?
Wenn x gleich 1 ist geht der limes der gesamten Reihe auch gegen 0.
Für x>1 hätte ich hier dann [mm] \bruch{\infty}{\infty}
[/mm]
Hm für diese Form kenne ich dann nur del Hospital, aber der hilft mir hier ja auch nicht weiter, denn wenn ich den ganzen Spaß ableite bringt mir das ja auch nicht viel oder?
> Viele Grüße
Lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:11 Di 01.03.2011 | | Autor: | abakus |
> Hallo
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> > Richtig. Das ist der Punkt: die Konvergenz hängt vom Wert
> > von x ab. Wie du ganz richtig festgestellt hast, ist der
> > Limes für [mm]x<1[/mm] gleich 0. Da es sich um eine monoton
> > fallende Folge handelt, konvergiert die Reihe nach dem
> > Leibnizkriterium. Was kannst du für die Fälle [mm]x>1[/mm] und
> > [mm]x=1[/mm] aussagen?
>
> Wenn x gleich 1 ist geht der limes der gesamten Reihe auch
> gegen 0.
> Für x>1 hätte ich hier dann [mm]\bruch{\infty}{\infty}[/mm]
Versuche mal das Quotientenkriterium.
Gruß Abakus
> Hm für diese Form kenne ich dann nur del Hospital, aber
> der hilft mir hier ja auch nicht weiter, denn wenn ich den
> ganzen Spaß ableite bringt mir das ja auch nicht viel
> oder?
> > Viele Grüße
>
> Lg
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Hm ja hab das QK gerade probiert.
Nun sieht das folgend aus...
[mm] \bruch{\bruch{x^{3n+4}}{8(n+1)^{2}+n+1}}{\bruch{x^{3n+3}}{8(n)^{2}+n}}
[/mm]
Wenn ich da dann den Doppelbruch auflöse und weiter rumrechne krieg ich am Ende raus : [mm] \bruch{8x}{8} [/mm] also [mm] \bruch{x}{1} [/mm] und das ist ja für x>1 immer größer als 1.
Die Bedingung des QK das q kleiner 1 sein muss trifft also nicht zu,
folglich gehe ich davon aus dass für einen x-Wert größer 1 diese Reihe nicht konvergent sondern divergent ist.
Stimmt das so?
Danke für eure Hilfe
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Hallo,
> Hm ja hab das QK gerade probiert.
> Nun sieht das folgend aus...
>
> [mm]\bruch{\bruch{x^{3n+4}}{8(n+1)^{2}+n+1}}{\bruch{x^{3n+3}}{8(n)^{2}+n}[/mm]
>
> Wenn ich da dann den Doppelbruch auflöse und weiter
> rumrechne krieg ich am Ende raus : [mm]\bruch{8x}{8}[/mm] also
> [mm]\bruch{x}{1}[/mm] und das ist ja für x>1 immer größer als 1.
Der Quotient zweier aufeinanderfolgender Folgenglieder konvergiert gegen x mit x>1. Der Quotient muss aber nicht immer größer 1 sein. Hier nur bei den Formulierungen aufpassen. Es ist ja klar, dass [mm] \bruch{8(n)^{2}+n}{8(n+1)^{2}+n+1}\to [/mm] 1 für [mm] n\to\infty
[/mm]
>
> Die Bedingung des QK das q kleiner 1 sein muss trifft also
> nicht zu,
> folglich gehe ich davon aus dass für einen x-Wert größer
> 1 diese Reihe nicht konvergent sondern divergent ist.
> Stimmt das so?
Ja.
> Danke für eure Hilfe
Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:47 Di 01.03.2011 | | Autor: | rawberrie |
Hallo,
> Der Quotient zweier aufeinanderfolgender Folgenglieder
> konvergiert gegen x mit x>1. Der Quotient muss aber nicht
> immer größer 1 sein. Hier nur bei den Formulierungen
> aufpassen.
Danke für den Hinweis,
Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:06 Mi 02.03.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
noch ein wichtiger Hinweis: du hast bisher nur [mm] $x\ge [/mm] 0$ angenommen. Für $x<-1$ funktioniert das Argument für die Divergenz ganz genauso. Aber: für [mm] $-1\le [/mm] x<0$ kannst du das Leibnizkriterium nicht anwenden. Du solltest also diesen Fall (und am besten auch [mm] $0\le x\le1$) [/mm] auch mit dem Quotientenkriterium angehen.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:47 Mi 02.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Die Frage ist vermutlich total doof, ich stell sie dennoch. Wieso darf man bei der Anwendung des Quotientenkriteriums hier die [mm] (-1)^{n} [/mm] einfach außer acht lassen?
LG Loriot95
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> Die Frage ist vermutlich total doof, ich stell sie dennoch.
> Wieso darf man bei der Anwendung des Quotientenkriteriums
> hier die [mm](-1)^{n}[/mm] einfach außer acht lassen?
Der Betrag der Summanden wird asymptotisch immer größer, wie du festgestellt hast. Das verhindert in jeglicher Weise, dass die Reihe einen Grenzwert hat. Da sie alterniert werden abwechselnd Summanden addiert und subtrahiert, was bedeutet, dass die Summe sozusagen hin und her springt und die Sprungabstände immer größer werden.
Unpräzise. Siehe freds Antwort.
>
> LG Loriot95
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:42 Mi 02.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Die Frage ist vermutlich total doof, ich stell sie dennoch.
> > Wieso darf man bei der Anwendung des Quotientenkriteriums
> > hier die [mm](-1)^{n}[/mm] einfach außer acht lassen?
> Der Betrag der Summanden wird asymptotisch immer größer,
> wie du festgestellt hast. Das verhindert in jeglicher
> Weise, dass die Reihe einen Grenzwert hat. Da sie
> alterniert werden abwechselnd Summanden addiert und
> subtrahiert, was bedeutet, dass die Summe sozusagen hin und
> her springt und die Sprungabstände immer größer werden.
Kannst Du mal präzise sagen, was Du damit meinst ? (aber ganz präzise !)
Gruß FRED
> >
> > LG Loriot95
>
> LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:57 Mi 02.03.2011 | | Autor: | kamaleonti |
> > Der Betrag der Summanden wird asymptotisch immer größer,
> > wie du festgestellt hast. Das verhindert in jeglicher
> > Weise, dass die Reihe einen Grenzwert hat. Da sie
> > alterniert werden abwechselnd Summanden addiert und
> > subtrahiert, was bedeutet, dass die Summe sozusagen hin und
> > her springt und die Sprungabstände immer größer werden.
>
> Kannst Du mal präzise sagen, was Du damit meinst ? (aber
> ganz präzise !)
Sry, das geschriebene war unpräzise und außerdem nur für x>1 gültig. Deine Antwort ist besser.
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:41 Mi 02.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Die Frage ist vermutlich total doof, ich stell sie dennoch.
> Wieso darf man bei der Anwendung des Quotientenkriteriums
> hier die [mm](-1)^{n}[/mm] einfach außer acht lassen?
Weil bei diesem Krit. Beträge vorkommen:
http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenkriterium
und [mm] $|(-1)^n|=1$
[/mm]
FRED
>
> LG Loriot95
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:42 Mi 02.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Danke. Oh man.
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