Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}1/(4k^2-1) [/mm] |
Ich habe zuerst das Quotientenkriterium ausprobiert, hat mir aber nicht weitergeholfen.
Dann habe ich versucht es auszuschreiben und irgendwie abzuschätzen, aber komme nicht weiter.
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}1/((2k+1)*(2k-1)) [/mm] =
= [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(1/(2k-1)-1/(2k+1))*0,5
[/mm]
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Ich kenne nur das Cauchy-Criterium, aber nicht das Produkt.
Kann ich die Aufgabe ohne das nicht lösen.
Hatte versucht eine Majorante zu finden, aber erfolglos.
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Hast Du auch schon [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{3k^2} [/mm] oder einfach [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k^2} [/mm] versucht?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:31 So 07.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Heureka!
Du hast doch schon exakt den richtigen Ansatz geliefert mit:
[mm] $$\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{4k^2-1} [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\summe_{k=1}^{\infty}\left(\bruch{1}{2k-1}-\bruch{1}{2k+1}\right)$$
[/mm]
Schreibe Dir nun mal die ersten Glieder auf und untersuche, welche der Glieder übrigbleiben. Es handelt sich hier nämlich um eine "Teleskopsumme", bei der sich fast alle Summanden eliminieren.
Gruß
Loddar
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Hallo,
ich würde diese Aufgabe mit dem Vergleichskriterium lösen:
Es besagt folgende Satz:
[mm] \{a_{n}\} [/mm] und [mm] \{b_{n}\} [/mm] seien Folgen mit:
[mm] 0\le a_{n} \le b_{n}
[/mm]
Dann gilt:
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}b_{n} [/mm] konvergiert so konvergiert auch [mm] \summe_{i=1}^{\infty} a_{n}
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}a_{n} [/mm] divergiert so konvergiert auch [mm] \summe_{i=1}^{\infty} b_{n}
[/mm]
Somit gilt
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}1/{4k²-1}
[/mm]
so gilt:
[mm] a_{n}=1/{4k²-1}
[/mm]
es folgt
{4k²-1} [mm] \le [/mm] 4k² [mm] \Rightarrow 1/{4k²-1}\ge [/mm] 1/{4k²}= [mm] b_{n} \forall k\in [/mm] R
Es folgt also
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}1/{4k²-1}\ge \summe_{i=1}^{\infty}1/{4k²} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}\summe_{i=1}^{\infty}1/{k²}
[/mm]
und da [mm] \summe_{i=1}^{\infty}1/{k²} [/mm] konvergiert, kongiert lt. dem Satz auch [mm] \summe_{i=1}^{\infty}1/{4k²-1}
[/mm]
Hinweis: Dieser Weg ist nur zu verwenden, falls Du bereits den verwendete Satz und die Tatsache dass [mm] \summe_{i=1}^{\infty}1/{k²} [/mm] konvergiert bewiesen hast (z.B in der Vorlesung)
Gruß,
Kleister
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Hallo,
also mit der Teleskopsumme hast du natürlich recht Loddar. Dann kriege ich sogar den Grenzwert der Folge.
Aber noch ne Frage zu Kleister. Also was du meinst ist doch das Majorantenkriterium?
Aber wie hilft es mir hier, weil ich weiß ja nur dass [mm] a_n [/mm] >= [mm] b_n [/mm] ist und das [mm] b_n [/mm] konvergiert.
Es würde mir doch nur helfen, wenn ich wüsste, dass [mm] b_n [/mm] >= [mm] a_n [/mm] wäre.
Nur dann könnte ich auch sagen, dass [mm] a_n [/mm] konvergiert oder verstehe ich es falsch?
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Heureka,
da hast du vollkommen recht, Kleister meinte es richtig, hat aber in der Rechnung in die falsche Richtung abgeschätzt, er wollte den Bruch und damit die Reihe nach oben abschätzen, also vergrößern, um eine konvergente Majorante anzugeben, hat aber effektiv verkleinert und eine konvergente Minorante angegeben, das bringt dir nix.
Zum Vergrößern eines Bruches kannst du den Zähler vergrößern und/oder den Nenner verkleinern, hier letzteres:
$\frac{1}{4k^2-\blue{1}} \ \le \ \frac{1}{4k^2-\blue{k^2}}$
Der Nenner im hinteren Bruch ist ja offensichtlich kleiner als der im ersten Bruch, denn ich ziehe anstatt 1 das größere k^2 ab, ok?
$=\frac{1}{3k^2}$
Damit $\sum{\frac{1}{4k^2-1} \ \le \ \sum\frac{1}{3k^2} \ = \ \frac{1}{3}\cdot{}\sum\frac{1}{k^2}$
Letzteres ist deine konvergente Majorante
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:44 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Arina |
Hallo zusammen!
Ich habe die gleiche Folge, nur muss ich beweisen, dass diese Folge gleich 1/2 ist. und wie mans hier sieht, kann man die Summe so umformen, dass man
1/2 * $ [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(1/(2k-1)-1/(2k+1))\ [/mm] $
raus bekommt.
wie zeige ich dass
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] $ [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(1/(2k-1)-1/(2k+1))\ [/mm] $ = 1 ist?????
Gruß, Arina
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:03 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Arina!
Wie bereits hier angedeutet, solltest Du Dir mal die ersten Glieder der Reihe aufschreiben und untersuchen, welche Glieder wirklich verbleiben.
Gruß
Loddar
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Cauchy-Produkt