Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:09 Do 04.05.2006 | | Autor: | Janshi |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:
[mm] \summe_{k=1}^{ \infty} \bruch{ \wurzel{k+1}- \wurzel{k}}{ \wurzel{k}} [/mm] |
Hallöchen,
Ich hätte hier eine Reihe womit ich Schwierigkeiten habe ihre Konvergenzverhalten zu bestimmen.
Die Folge [mm] \bruch{ \wurzel{k+1}- \wurzel{k}}{ \wurzel{k}} [/mm] ist ja eine monotone Nullfolge, damit wäre ja die notwendige Bedinung für Konvergenz einer Reihe erfüllt, soweit so klar. Mein Problem ist nun, dass egal welches Konvergenzkriterium ich auf diese Reihe anwende, sei es Wurzel-, Majoranten/Minoranten, Quotientenkriterium, ich schlichtweg kein brauchbares interpretierbares Ergebnis erhalte.
Mein Tutor meinte ich sollte es mal mit dem Wurzelkriterium probieren, aber wenn ich das Wurzelkrit. auf die Reihe anwende, dann erfüllt Sie nicht die Bedinungen für das Wurzelkrit.
Vlt. könnte mir jm. eine Denkanstoß geben,
Dankeschön
Janshi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:38 Do 04.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo jan
Wenn die Kriterien versagen versucht man Minoranten- bzw Majorantenkriterium. form um zu [mm] \wurzel{1+1/k}-1 [/mm] schätz das vordere Teil ab und vergleich mit der harmonischen Reihe!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:53 Do 04.05.2006 | | Autor: | Janshi |
Dankeschön erstmal für die schnelle Antwort.
Okay wenn ich das vordere Teil mit [mm] \wurzel{1/k} [/mm] abschätze, kann ich schlussfolgern dass das vordere Teil divergiert, da die harmonische Reihe für [mm] \wurzel{1/k} [/mm] divergiert.
Aber es lautet doch [mm] \wurzel{1+1/k}-1
[/mm]
Ich ziehe doch bei jedem Schritt auch noch immer die 1 ab, wenn ich jetzt nachweiße dass die Reihe [mm] \wurzel{1+1/k} [/mm] divergiert, kann ich dann automatisch behaupten/wissen dass die Reihe [mm] \wurzel{1+1/k}-1 [/mm] auch divergiert?
Janshi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:31 Fr 05.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
so einfach gehts halt nicht mit dem Abschätzen :
[mm] 1+1/2k+1/16k^{2}<1+1/k<1+1/k+1/4k^{2} [/mm]
Wurzel ziehen und benutzen!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:36 Fr 05.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> so einfach gehts halt nicht mit dem Abschätzen :
> [mm]1+1/2k+1/16k^{2}<1+1/k<1+1/k+1/4k^{2}[/mm]
> Wurzel ziehen und benutzen!
Alternativ kannst du auch die Funktion [mm] $\sqrt{1 + x} [/mm] - 1$ fuer $x [mm] \in [/mm] [0, 1]$ untersuchen und feststellen, dass dort [mm] $(\sqrt{2} [/mm] - 1) x [mm] \le \sqrt{1 + x} [/mm] - 1 [mm] \le \frac{1}{2} [/mm] x$ gilt. (Die untere Schranke ist eine Direktverbindung der Funktionswerte $0$ bis $1$, das andere eine Tangente im Nullpunkt.)
LG Felix
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